Funciones definidas a trozos y derivadas laterales.

¿Qué es una función definida a trozos? Estas funciones se presentan en la forma:

Ax + b si x < c

b – x si –c < x < c; es decir la función está definida por segmentos. Un ejemplo de ellas es f(x)= 1/x si 0 < x< 2

1-     1/4x si 2 ≤ x.

Pero ¿Cómo se derivan estas funciones en un punto x₀? Para ello se deben calcular las derivadas por la izquierda y por la derecha del punto x₀, esto es: F´_(x₀) y F´₊(x₀), si sus derivadas laterales son iguales entonces la función es derivable en dicho punto. Veamos cómo se deriva la función anterior en el punto 2.

F´_( x₀) = -1/x² y F´₊( x₀)= -1/4. Luego evaluando en el punto 2: F´_(2) = -1/4 y F´₊(2)= -1/4, entonces se concluye que la función es derivable en el punto 2.¿Pero cómo saber si una función es derivable en un x₀? Para que una función sea derivable en un punto debe ser continua en el mismo y sus derivadas laterales deben ser iguales. Para que una función sea continua en un punto se deben cumplir tres aspectos:

1)     F(x₀) existe.

2)     Lim F_( x₀)= Lim F₊(x₀).

3)     Lim F(x₀) = F(x₀).

Ejemplo: F(x)= 2x si 0 ≤  x ≤  10                                                                                                                                                               

                          1.4x +6 si 10 < x.

 Estudie la derivabilidad de F en el punto 10.                                                                                        F(10) = 2.(10)= 20

Lim F_( 10) = 20; Lim F₊(10)= 20.

Lim F(10)= 2(10) = 20. Luego la función es continua en 10.

 Como la función es continua en 10 puede ser derivable en el punto 10. Evaluando las derivadas laterales: F´_(x₀) = 2  ≠ F´₊(x₀) = 1.4. Por lo que F no es derivable en el punto 10 y se concluye que continuidad no implica obligatoriamente derivabilidad. Pero su reciproco si; derivabilidad implica continuidad. Veamos un ejemplo.

Sea F(x)= 1/x si         0 < x  < b                                                                                     

                 1-1/4x si   b ≤  x.   Si esta es derivable determine el valor de b.   

Solución: como la función es derivable entonces es continua, para ello se igualan los limites laterales de F(b) y se despeja el valor de b. Lim F_(b) = 1/b; Lim F₊(b)= (1-1/4)b. Luego: 1/b = (1-1/4)b; 4 = 4b-b²; b² – 4b + 4 = 0; (b – 2)² = 0; b=2. Comprobando se tiene ½ = 1-(1/4)2. Y calculando sus derivadas laterales se tiene: F´_(x₀) = -(1/x²)  y F´₊(-1/4), al evaluar en 2 : F´_(2) = -(1/4)  = F´₊(-1/4). Se concluye que F´(2) existe y que toda función derivable es continua. Entonces para calcular la derivada en un punto de una función definida a trozos primero se comprueba que sea continua en dicho punto x₀, y luego se calculan sus derivadas laterales en x₀, si estas son iguales entonces existe la derivada de la función en algún x₀.