En este post te explico de forma sencilla mediante ejemplos todos los metodos y reglas para derivar funciones.El cálculo
diferencial expone muchas reglas y teoremas; a parte de las tablas de fórmulas
para derivar funciones elementales, se tienen la regla para derivar la suma, la
resta, el producto y el cociente de dos o más funciones. También existen otras
técnicas de derivación como lo son la derivación logarítmica, derivación
implícita, derivada de funciones dadas en forma paramétrica y derivada de
funciones definidas a trozos o la derivada de la inversa de una función. También
cuando se tiene una función compuesta se debe aplicar la regla de la cadena. Otros teoremas que merecen mención son la
regla para derivar una constante entre una función o la derivada de una función
entre una constante, y la fórmula para derivar funciones compuestas donde la
base y el exponente son funciones. Veamos por partes cada uno de estas reglas
que te estaré explicando mediante problemas y ejercicios resueltos. Sean f(x) y
g(x) funciones entonces:
1)
Regla para derivar la suma: la derivada de la suma de dos o más
funciones es igual a la suma de sus derivadas, esto es: (f(x) + g(x))' =
f'(x)+g'(x).Ejemplo: F(x)= 4x2+x+1. Calcule F'(x). La derivada de
una potencia con exponentes entero positivos se tiene que si f(x)=xn
entonces f'(x)= n.xn-1 entonces
la derivada de 4x2 es 2.(4)x2-1 = 8x, entonces:
F'(x)= 8x+1+0
Regla para derivar la resta: la derivada de la resta de dos o más
funciones es igual a la suma de sus derivadas, esto es: (f(x) - g(x))' =
f'(x)-g'(x).Ejemplo: G(x)=1-2x-x2 , calcule dG/dx. Solución:
aplicando el teorema de la resta se tiene que
G'(x)=0-2-2x
Regla para
derivar el producto: la derivada del producto de dos o más funciones es igual a
la derivada de la primera por la segunda sin derivar + la primera por la derivada
de la segunda, esto es: (f(x).g(x))' = f '(x).g(x)+f(x)g'(x). Ejemplo: F(x)=
x.sen x + cos x. Calcule F'(x). Solucion:
(1.sen x + x.cos x) – sen x = (1.sen x + cos x2)
– sen x
Regla para el
cociente: la derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada de
la primera por la segunda sin derivar menos la primera por la derivada de la
segunda, todo esto dividido entre el cuadrado de la segunda, esto es: (f(x)/
g(x))' = (f '(x).g(x)-f(x)g'(x))/g(x)2
Ejemplo: calcule dy/dx si y = F(x) =
(2cos x) /(x+ 1). Solución: aquí se tiene el cociente de una función
trigonométrica y una función polinómica
entonces :
F'(x) = ((2cos x)'. (x+ 1) - (2cos
x). (x + 1)’) /
(x+ 1)2
F'(x) = ((-2sen x). (x + 1) - (2cos x). (x))/(x+1)2
Regla para
derivar una constante entre una función: sea c una constante, entonces: (c/f(x))' = (c/f 2(x)).f '(x). Ejemplo f(x) = 5/(sen x), f '(x) = (5/sen2 x).cos x
Regla para
derivar una función entre una constante: sea c una constante, y = f(x)/c;
entonces y '= f '(x)/c. Ejemplo f(x) = (cos
x)/2, f '(x) = -(sen x)/2
Regla para
derivar el producto de una constante y una función. sea c una constante, y =
c.f(x); entonces y'= c.f '(x). Ejemplo f(x) = π(tg x), f '(x) = π(sec2 x)
Funciones
compuestas y la regla de la cadena.
Si y=f(x) y x =
f(t), entonces “y” es una función diferenciable que depende de “x” y su
derivada se obtiene aplicando la regla de la cadena: dy/dx= (dy/du).(du/dx), lo
que es lo mismo que: f '(g(x)). g'(x).Ejemplo:
S = 6x2, x=2a. Solución: S depende
de “x” que a su vez depende “a”, esto es: S(x(a)), luego dS/da =
(dS/dx).(dx/da) = 12x.(2) = 12x = 24a.
Otra forma en
la que se tiene una función compuesta es cuando se presentan funciones
así: Ln(x3), si f(x)= Ln(x) y
g(x) = xn, en este caso se deben identificar cuantas funciones hay y
determinar la función más externa hasta la más interna, entonces la función
compuesta se denota f(g(x)) o también se representa así:
(fog)(x)
y su derivada es: f'(g(x)).(g'(x )), para el caso de estudio (fog)(x)=
Ln (x3) y aplicando la regla de la cadena su derivada es:
(fog)'(x)= ((Ln (x3)').(x3)'
= (1/(x3)).(3x2). Para el caso de tener la composición de más de 2 funciones, por
ejemplo y = fohok, como en:
y = sec (Log10(2x2/x)), entonces y' = f '((hok)(x).(h'(k(x)).(k)'.
y = Ln5 x3.
Sea f(x) = x5, g(x) = Ln x3, h (x) = x3. Entonces
(fogoh)'(x) = f '(goh(x)).g'(h(x)).h '(x). (5Ln4 (x3)).(1/ x3).(3x2)
Derivada de
funciones dadas en forma paramétrica.
Hay funciones
representadas mediante las variables “x” y “y”, pero estas depende un parámetro
“t”, si se pide calcular la derivada de “y” respecto a “x” sin eliminar el parámetro
que las relaciona entonces se debe aplicar la regla de la cadena para calcular
dy/dx, entonces si y= f(x) estas
funciones se expresan asi:, donde t € IR.
X= x(t)
Y= y(t)
Entonces si f
es una función derivable respecto a x y x es una función
derivable con respecto a t entonces se puede derivar la variable y con
respecto a t aplicando la regla de la cadena. Esto es dy/dt =
(dy/dx).(dx/dt), porque la variable y depende de x y la
variable x depende de t es decir y(t)=y(x(t)), luego se despejan dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
donde (dx/dt) ≠ 0. Veamos un ejemplo:
X= t Ln t
Y= 2+ cos t, calcule dy/dx. Se derivan las dos variables respecto a “t”,
y se aplica la regla de la cadena: dx/dt = Ln t + t(1/t) = Ln t + 1
dy/dt = –sen t entonces y'=dy/dx=(-sen t)/(Ln t +1)
Derivación implícita. La técnica de derivación implícita permite derivar una variable “y”
dada implícitamente en una función, para ello se derivan todos los miembros de
la ecuación respecto a “x”, pero las derivadas de “y” deben ser multiplicadas
por (y '). Ejemplo: Si y = f(x),
calcule dy/dx sin despejar a “y” en la siguiente ecuación:
F(x) = 3/x -
3/y = 2x, al derivar implícitamente respecto a “x”, se tiene:
-3/x2 - (-3/y2).
dy/dx = 2, se despeja dy/dx= (3/x2)/(1/y2).
La derivación logarítmica se utiliza para derivar funciones que
son muy difíciles en las que están presentes mayormente funciones potencias,
cocientes y que implican funciones trigonométricas o hiperbólicas y sus
inversas los pasos para derivar logarítmicamente son:
1)
Se debe escribir la función en la forma y = f(x)
2)
Se aplica logaritmo natural a la función: Ln y = Ln f(x), y se
resuelve aplicando las propiedades del logaritmo natural.
3)
Se deriva implícitamente con respecto a la variable independiente
en este caso “x” :
(Ln y)' = (Ln f(x))' (1/y). y' = (Ln f(x))'
4)
Se multiplica por “y” toda la ecuación resultando: y' = y(Ln
f(x))'
5)
Se cambia “y” por f(x) resultando: f'(x)= y' = f(x). (Ln
f(x))'
Es importante
conocer las propiedades del logaritmo neperiano las cuales son:
Ln (a/b) = Ln a – Ln b Ln (a)x = x. Ln(a)
Ln (a.b.c…. z) = Ln a + Ln b +……+ Ln z . Ejemplo:
Calcule la derivada de y =
(cotg x)sen x
Ln y = Ln ((cotg x)sen x)
Ln y = sen x.Ln (cotg x)
(1/y). y' = cos x.Ln(cotg x) + sen x. (1/cotg x). (cotg x) '
(1/y). y' = cos x.Ln(cotg x)
+ sen x. (1/cotg x). (cosec2 x)
y' = y. [ cos x.Ln(cotg x) + sen x. (1/cotg
x). (cosec2 x)]
y' = ((cotg x)sen x). [ cos
x.Ln(cotg x) + sen x. (cosec2 x /cotg x)]
Derivada de
funciones compuestas donde la base y el exponente son funciones.
Hay funciones compuestas que se presentan en la forma f(x)g(x),
este tipo de funciones se pueden derivar logarítmicamente, pero existe una fórmula
que facilita su cálculo, para ello solo se deben calcular las derivadas de f y
g y sustituirlas en la fórmula:
Si y=f(x), entonces: y' = g'(x)(f(x))g(x)Lnf(x) +
g(x)f'(x)(f(x))g(x)-1
1)
Ejemplo:
Y= (sec x)cotg x La función base es: f(x)= sec x y
la función exponente es: g(x)= cotg x , luego f '(x)= (tg x.secx), y
g'(x) = -cosec2 x.
Y' = -cosec2 x(sec x)cotg xLn(sec
x) + cotg x(tg x. secx). (sec x)cotg x -1
Derivada de la
función inversa.
Existen tres métodos
para derivar la inversa de una función:
1) Teorema: sea y = f(x) continua en
un intervalo cerrado [a, b], si f'(x) y es distinta de cero para toda [a, b],
entonces la derivada de la inversa f -1
denotada por x
= f -1 (y) existe y está dada por dx/dy = 1/dy/dx ó si te parece más
entendible:
f -1 (y)' = 1/ f'(x)
1) y = 4x1/3
Solución: la inversa de esta función
denotada por f -1(y) es igual x = 3√y/4.
Al calcular f '(x) se tiene: 1.3(x)-2/3 entonces f -1(y)': 1/(1.3(x)-2/3).
Al calcular f '(x) se tiene: 1.3(x)-2/3 entonces f -1(y)': 1/(1.3(x)-2/3).
El segundo método para calcular la
derivada de la inversa de una función es el siguiente:
Teorema: Sea f
una función continua en el intervalo cerrado [a, b] que contiene al número x0,
y f(x0) = y0. Entonces si f '(x0) existe y es
distinta de cero la (f -1)'(y0) existe y es igual a : (f -1)'(y0)
= 1/ f '(x0)
Si y= f (x) = 10x calcule (f -1)' en x0 = 2
Solución:
evaluando a la función en el punto 2 se tiene: f (2) = 100. La derivada de esta
función es: 10x Ln 10, como f '(x) > 0 esto indica que es
continua, creciente y admite inversa, evaluando f '(2) = 230.25, luego el punto
[100; 2] está en la gráfica de f -1 y su derivada en el punto es:
(f -1)'
(100) = (1/230.25) = 0.004. Verifiquemos f -1(x) = Log10
x f -1(x)'= 1/(xLn10), luego f -1(100)'= 1/(2Ln10) = 0.004
El tercer
método para calcular la derivada de la inversa de una función en mediante
diferenciación implícita, si se tiene una función en la forma y = f(x) y
se pide calcular la derivada de la inversa; es decir f -1 (x)', entonces:
Primero: se hace el cambio de variables en la forma y
= f -1x
Segundo: se expresa a “x” en términos de “y” en
la forma x = f(y),
Tercero: se deriva implícitamente
esta última ecuación respecto a x.
Cuarto: al
despejar a dy/dx se sustituye el valor de “y” obtenido en el primer paso
Si y = 17/x, calcule la derivada de la función inversa.
Solución: se hace el cambio de variables:
y
= 17x-1 luego x = 17/y, se deriva implícitamente respecto
a “x”
1 = -(17/y2)y' luego se despeja dy/dx o y': y' = -(y2/17) pero y = 17x-1 entonces: y' = -(17x-1)2/17
= -289x-2/17 = -17x
-2
Al calcular la derivada de y = 17x-1
se obtiene: -1(17).x -1-1 = y'
Existen otros métodos
más como la derivada numérica, la cual está definida como el límite del
cociente de diferencias estándar. La derivada lateral, en la que se evalúa la función
en las vecindades de “x”; es decir se evalúa el limite por la izquierda y por
la derecha, y la derivada de funciones definidas a trozos, en las que la función
se define por secciones y para calcular su derivada se evalúan las derivadas en
las vecindades o puntos de unión, porque se puede presentar una discontinuidad que
impide la derivabilidad de la función.
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