Como resolver facilmente ejercicios de razones de cambio relacionadas ó tasas de variación relacionadas. problemas resueltos

En este tipo de problemas se tiene una función compuesta en el que las variables varían respecto al tiempo, pero a su vez una de estas variables varia respecto a la otra. De forma general si se tienen dos variables sean A y B y estas dependen del tiempo, pero a su vez A depende de B se debe plantear la siguiente ecuación:

 dA/dt = (dA/dB). (dB/dt). Por ejemplo, en problemas de dinámica de partículas la velocidad varía respecto al tiempo, pero a su vez la velocidad es la tasa de variación de la distancia respecto al tiempo, y a su vez la distancia depende del tiempo matemáticamente se expresa así:  dv/dt = (dv/ds). (ds/dt). Entonces ¿Cómo resolver este tipo de problemas? Primero se sugiere leer cuidadosamente el enunciado, si es útil dibujar una figura de la situación. Luego definir las variables de la ecuación, primero se define la variable “t” y luego la relación de las otras 2 variables con “t”. Escribir los hechos numéricos acerca de las variables y sus derivadas con respecto a “t”. Luego escribir lo que se desea determinar y escribir una ecuación que relacione las variables que dependen de “t”. Seguidamente derivar respecto a “t” a los dos miembros de la ecuación obtenida anteriormente para relacionar sus tasas devariación y por ultimo sustituir las cantidades conocidas para despejar la cantidad deseada. Por ultimo dar una conclusión que responda las preguntas del problema. Veamos unos ejemplos y algunos ejercicios propuestos tomados del libro EL CALCULO DE LOUIS LEITHOLD:

1)     Se infla un globo esférico de modo que su volumen se incrementa a una tasa de 5 m³/min. ¿A qué tasa aumenta el diámetro cuando este es de 12 m?

Sea t el tiempo transcurrido desde que inicia el inflado del globo, V su volumen a los “t” minutos y D su diámetro a los “t” minutos. Entonces dV/dt=5 m³/min. Como el volumen depende del diámetro y este a su vez del tiempo y se pide calcular dD/dt cuando D= 12m. En cualquier tiempo el volumen de una esfera es: V_e= 4/3. π.r³ pero se necesita una ecuación que relación a V y D, para ello se sustituye r= D/2 en la ecuación anterior y se deriva respecto a D: V_e= 4/3. π.(D/2)³                                                       dV/dD = 4/3.π.3((D/2)²).(1/2)  se plantea la siguiente ecuación:                                                                 dV/d/t=(dV/dD).(dD/dt), y se sustituyen las cantidades conocidas:                                   5 m³/min =4/3.π.3((D/2)²).(1/2)  .(dD/dt)    Resolviendo para  dD/dt:

  dD/dt = (5 m³/min)/( 4/3.π.3((6)²).(1/2)) = 0.022 m/min.

2)     Se está formando una bola de nieve y su volumen se incrementa a una tasa de 8 pie³/min. Determine la tasa a la que el radio aumenta cuando el diámetro de la bola es de 4 pie.

Se conoce que dV/d/t = 8 pie³/min, y se pide calcular dr/dt cuando el diámetro es: 4 pie. Entonces se debe relacionar en la fórmula del volumen de una esfera al volumen con el radio, para ello se hace r= D/2 = 2 pie y se sustituye en la siguiente formula: V_e= 4/3. π.r³ = 4/3. π.(2)³  y dV/dr = 4.π.r²  = 4.π.(2)²   = 33.49 pie². Como el volumen depende del radio y este a su vez del tiempo se plantea la siguiente ecuación:

dV/d/t=(dV/dr). (dr/dt) 

8 pie³/min =33.49 pie³. (dr/dt) luego (dr/dt) = (8 pie³/min) / (33.49 pie²)= 0.23 pie /min.

3)      Se deja caer arena en un montículo de forma cónica a una tasa de 10m³/min. Si la altura del montículo siempre es el doble del radio de la base ¿a qué tasa se incrementa la altura cuando ésta es de 8 m?

Sea “t” el tiempo desde que empieza a caer la arena y sea V el volumen de un cono: V_c= 1/3πr²H. Pero H= 2r lo que es lo mismo r = H/2, entonces V_c= (1/3) π.(H/2)².H = 1/3π(H³/4) y dV/d/H= π(H²/4).(½H). Como se conoce dV/d/t = 10m³/min y se pide calcular dH/dt, se plantea la siguiente ecuación:

  dV/d/t=(dV/dH). (dH/dt).   y   dH/dt = (dV/d/t)/(dV/dH)

dH/dt = (10m³/min) /(π(H²/4). (½H)) pero dV/d/H= π.(64²/4).(8)= 25722.88 m²

dH/dt = (10m³/min) /(25722.88m²) = 0.00038 m/min.

4)     Un tanque para almacenar agua tiene forma de cono invertido y se vacía a una tasa de 6 m³/min. La altura del cono es de 24 m y su radio mide 12 m. Determine que tan rápido disminuye el nivel del agua cuando ésta tiene una profundidad de 10 m.

Primero se definen las variables, sea “t” el tiempo desde que empieza a vaciarse el tanque, V su volumen a los “t” minutos, H la cantidad de metros de altura a los “t” minutos y “r” el número de metros del radio de la superficie del agua a los “t” minutos.

Puesto que el tanque se vacía a una tasa de 6 m³/min, entonces dV/dt = -6 m³/min. Se desea determinar dH/dt cuando H= 10 m. En cualquier momento el volumen del tanque se puede expresar como el volumen de un cono: V_c= 1/3πr²H.

Entonces se necesita una ecuación que involucre a dV/dt y dH/dt, para ello se expresa a “r” en términos de H, de trigonometría se sabe que r/H = 12/24 → r= (3/6).H. Sustituyendo este valor en la fórmula del volumen de un cono se tiene:      V_c= 1/3π(0.5H)²H → V_c= 0.26H³. Al diferenciar implícitamente los dos miembros de la ecuación anterior aplicando la regla de la cadena se tiene:

dV_c/d/t=(0.78H²). (dH/dt).  Ahora se sustituyen las cantidades conocidas y se resuelve para dH/dt.

dH/dt = (-6 m³/min.) / ( 0.78H² ) = -0.0769 m/min. El nivel del agua disminuye a una tasa de 7.69 cm/min.

5)      Cierta cantidad de aceite fluye hacia el interior de un depósito que tiene forma de cono invertido a una tasa de 3π m³/min. Si el depósito tiene un radio de 2.5 m en su parte superior y una altura de 10 m ¿qué tan rápido varía el nivel del aceite cuando éste ha alcanzado 8 m profundidad.

Este es un ejercicio semejante al anterior, primero se definen las variables, sea “t” el tiempo desde que empieza a fluir el aceite, V el volumen de aceite a los “t” minutos, H la cantidad de metros de altura a los “t” minutos y “r” el número de metros del radio de la superficie del agua a los “t” minutos.

Puesto que el aceite fluye a una tasa de 3π m³/min, entonces dV/dt = 3π m³/min. Se desea determinar dH/dt cuando H= 8 m. En cualquier momento el volumen del depósito se puede expresar como el volumen de un cono: V_c= 1/3πr²H.

Entonces se necesita una ecuación que involucre a dV/dt y dH/dt, para ello se expresa a r en términos de H, de trigonometría se sabe que r/H = 2.5/10 → r= 0.25H. Sustituyendo este valor en la fórmula del volumen de un cono se tiene:      V_c= 1/3π(0.25H)²H → V_c= 1/3π(0.0625).H³. Al diferenciar implícitamente los dos miembros de la ecuación anterior aplicando la regla de la cadena se tiene:

dV_c/d/t=(3. (0.0654) H².).(dH/dt)  Ahora se sustituyen las cantidades conocidas y se resuelve para dH/dt.

dH/dt = (3π m³/min.)/(12.56 m²/min) = 0.75 m/min. El nivel del aceite se incrementa a una tasa de 75 cm/min.

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