Derivadas como tasa de variación instantánea. PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS .

Cuando se tiene una función por ejemplo de la forma s = f(t) en donde “s” es la distancia y esta depende del tiempo se dice que su derivada expresa la velocidad de la partícula a las “t” unidades de tiempo, este concepto de velocidad corresponde a la tasa de variación instantánea de “s”  por unidad de variación de “t”. De forma más general si una cantidad “y” es función de una cantidad “x” en la forma y= f(x) se puede expresar la variación de “y”  respecto a “x”   de la siguiente forma: Δy/Δx, lo que es lo mismo que f'(x) si esta existe.

Sea V(x) centímetros cúbicos el volumen de un cubo de aristas x cm. Calcule la tasa instantánea de variación de su volumen cuando x = 5.

El volumen de un cubo es x³ y V'(x) = 3x² entonces V'(5) = 3(5)² : 75 cm. Entonces la tasa instantánea de variación de V(x) con respecto a x cuando  x = 5 es   V'(5) = 75 cm.

Se tiene un circulo de radio r, calcule la tasa instantánea de variación de su área cuando r = 10. El área de un circulo es: A_c = π.r² al calcular A_c'(r)= 2.π.r   y  A_c'(10)= 2.π.10 = 62.8 cm .

En economía se usa mucho el concepto de variación marginal el cual es la tasa de variación instantánea de una cantidad con respecto a otra. Si C(x) representa el costo total de producir x cantidad de artículos entonces C'(x) es la función de costo marginal siendo esta su tasa de variación respecto a “x”. Veamos unos ejercicios:

Suponga que C(x) dólares es el costo de fabricar x artículos. Calcule la función de costo marginal y su tasa de variación cuando x = 5.

C(x) = 0.55x² + 0.04x . La función de costo marginal es C'(x): 1.1x + 0.04 y

C'(5) = 5.54 dólares. Entonces cuando se fabrican 5 artículos el precio varía 5.54 dólares.

También se tiene la función ingreso total que se denota por R y está definida por R(x) = px. Donde R(x) dólares es el ingreso recibido al vender x unidades a p dólares por unidad. La derivada de R(x) es el ingreso marginal cuando se venden x unidades y esta tasa de variación puede ser positiva, negativa o cero veamos un ejemplo y varios ejercicios resueltos. 
Suponga que R(x) dólares es el ingreso total por la venta de x productos y R(x) = 350x – 0.15x³ Determine la función ingreso marginal y el ingreso marginal cuando x = 35.

La función ingreso marginal es R'(x) 350 – 0.15x² y el ingreso marginal es        R'(35)= 350 – 183.75 = 166.25 dólares. Entonces la tasa de variación cuando se venden 35 productos es 166.25 $ por producto.

Sea m(x) la pendiente de la recta tangente a la curva y = 3x³ + 2x² + 5 en el punto (x,y), determine la tasa instantánea de variación de m(x) con respecto a x en el punto (1, 10). Se tiene por definición que m(x)= dy/dx

                                                              = 9x² + 4x. La tasa instantánea de variación  de m(x) con respecto a x está determinada por m'(x) o d²y/dx²                                                                                   m'(x) =  9x + 4  en el punto (1, 10)    m'(1) =  9(1) + 4 = 13                                         

 Veamos varios ejercicios para sintetizar lo antes expuesto. Algunos problemas y ejercicios resueltos han sido tomados de los ejercicios propuestos del libro EL CALCULO DE LOUIS LEITHOLD. 7ma Edicion.

1)     Sea A(x) cm² el área de un cuadrado de lado x cm, determine la tasa de variación de A(x) cuando x= 5. Se tiene que el área de un cuadrado es igual a x², la tasa de variación es A'(x) = 2x que evaluada en 5 = 10 cm².

2)     La ley de Stefan para la emisión de energía radiante “R” establece que R(T) = kT⁴, determine R'(T) cuando T= 200 Kelvin. Como “k” es una constante derivando se tiene que R' (T) = 4.(kT)³ . Entonces R' (T) = 4.(k.200)³     

3)     Un cilindro circular recto tiene altura constante de 10.00 pulgadas. Sea V pulgadas³ el volumen del cilindro y r pulgadas el radio de su base. Determine V'(r) cuando r = 5.00. El volumen de un cilindro es igual a su base por altura entonces V(r) = (π.r²)H  entonces la tasa de variación instantánea del solido respecto al radio es igual a V'(r) = 2(π.r)H  que evaluada en r = 5 es:         V'(5) = 2(π.5)H  = (31.4)H      

4)     Se tiene una pirámide cuya base es igual al cubo de su altura. Calcule la tasa de variación instantánea del volumen respecto a la altura. Se pide calcular V'(h). El volumen de una pirámide es V = 1/3bh. Pero b = h³, entonces                                V = 1/3(h³h) =  1/3(2h³). Derivando respecto a  h se tiene:    V'(h) =  1/3(6h²).  

                           

5)     Sea r pulgadas el radio de un plato metálico circular recto de área A(r) pulgadas cuadradas y circunferencia de C(r) pulgadas. Si el calor expande el plato determine la tasa instantánea de variación de A(r) y C(r) con respecto a r. El área de un circulo es A_c = π.r²  y la longitud de una circunferencia es L_c = 2rπ entonces A'_c = 2π.r  y  L'_c = 2π por lo que se concluye que la tasa de variación instantánea de la longitud de una circunferencia es una constante respecto al radio.

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