¿COMO DERIVAR UNA FUNCION COMPUESTA? LA REGLA DE LA CADENA. PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS!!!

En el cálculo matemático y en la vida real se presentan muchos casos en los que una variable A depende de dos parámetros B y C, pero a su vez A y B depende de C. entonces se está en presencia de una función compuesta en la forma A(B(C)); y para calcular su derivada se expresa del siguiente modo: A(B(C))' =

dA/dC = (dA/dB).(dB/dC), porque A depende de B y ésta a su vez depende de C. La relación anterior es conocida como la regla de la cadena y expresa la tasa de variación A respecto a C.

Veamos algunos ejercicios resueltos para entender lo antes expuesto y luego veremos otro método para derivar funciones potencias compuestas en las que el exponente es una función. Aplique la regla de la cadena para calcular y'=dy/dx en cada una de las siguientes funciones:

1) y= u² + 3u-4, u= 3x +3. Solución: “y” depende de “u”, que a su vez depende de “x”. Esto es: y(u(x)), luego dy/dx= (dy/du).(du/dx) = (2u + 3).(3) = (6u + 9), pero u = 3x+3 entonces: dy/dx= (6(3x+3) + 9) = (18x + 36)

2) y= ³√z²,  z= 2u – u, u = 1/x. Solución: “y” depende de “z”, que a su vez depende de “u”, y “u” depende de “x”. Esto es: y(z(u(x))), luego dy/dx= (dy/dz).(dz/du).(du/dx) = (2/3z^-1/3).(2).(-1/x²) = sustituyendo a “z” y “u”: (2/3((2/x-1/x)^-1/3)).(-2/x²) =                         -8/3x^-1/3+4/3x^-1/3.

3) y= w² + 1/w, w= ez, z= x/i. Solución: “y” depende de “w”, que a su vez depende de “z” y esta última depende de “x”.  Esto es: y(w(z(x))), luego dy/dx= (dy/dw).(dw/dz).(dz/dx) = (2w -1/w²)(e).(1/i) = (2ew-e/w²)/i, sustituyendo a “w”: (2e(ez)-e/(ez)²)/i. = (2e²z- e/(ez)²) y por último se sustituye a “z”: (2e²(x/i)- e/(e(x/i))²)

4) y= u³, u= x³ . Solución: “y” depende de “u”, que a su vez depende de “x”. Esto es: y(u(x)), luego dy/dx= (dy/du).(du/dx) = (3u²).(3x²) = (3(x³)²).(3x²) = 3x⁶+3x²

5) V=z³, z= 2x. Solución: V depende de “z” que a su vez depende “x”, esto es: V(z(x)), luego dV/dx = (dV/dz).(dz/dx) = 3z².(2) = 6z², se sustituye a z=2x y se tiene: 12x²

6) V =4/3πr³, r = 2x, x= 0.2t². Solución: V depende de “r” que a su vez depende “x”, y “x” depende de “t”, esto es: V(r(x(t))), luego dV/dt = (dV/dr).(dr/dx).(dx/dt) = (4 πr²).(2).(0.4t)= 8.32tπr², se sustituye a r=2x y se tiene: 8.32tπ(2x)² = 104.4tx²= 104.4t(0.2t²)² = 4.17t⁵

7) V = 1/3Bh, h = 0.5t. Solución: V depende de “h” que a su vez depende “t”, esto es: V(h(t)), luego dV/dt = (dV/dh).(dh/dt) = (1/3B).(0.5) = 0.16B

8) S = 6x², x=2a. Solución: S depende de “x” que a su vez depende “a”, esto es: S(x(a)), luego dS/da = (dS/dx).(dx/da) = 12x.(2) = 12x = 24a.

9) V= hx², h= 0.7t². Solución: V depende de “h” que a su vez depende “t”, esto es: V(h(t)), luego dV/dt = (dV/dh).(dh/dt) = (x²).(1.4t) = 1.4x²t.

10) P= VC, V= 0.6r, r = 2T, T = 1/t. Solución: P depende de “V” que a su vez depende “r”, esta depende de la temperatura que a su vez depende del tiempo, esto es: P(V(r(T(t)))), luego dP/dt = (dP/dV).(dV/dr).( dr/dT).(dT/dt) = (C).(0.6).(2).(-1/t²) =   -(1.2C/t²)

Otra forma en la que se tiene una función compuesta es cuando se presentan funciones así:  Ln(x³), si f(x)= Ln(x) y g(x) = xⁿ, en este caso se deben identificar cuantas funciones hay y determinar la función más externa hasta la más interna, entonces la función compuesta se denota f(g(x)) o también se representa así:

(f_og)(x) y la derivada de la funcion compuesta es: f'(g(x)).(g'(x )), para el caso de estudio (f_og)(x)= Ln (x³) y aplicando la regla de la cadena su derivada es:

 (f_og)'(x)= ((Ln (x³)').(x³)' = (1/(x³)).(3x²).  Para el caso de tener la composición de más de 2 funciones, por ejemplo y = f_oh_ok, como en:

y =  sec (Log₁₀(2x²/x)),  entonces y' = f '((h_ok)(x).(h'(k(x)).(k)'. Es decir:

 sec (Log₁₀(2x²/x))' =  sec (Log₁₀(2x²/x))'.(Log₁₀(2x²/x))'.(2x²/x)'

Sec (Log₁₀(2x²/x).tg (Log₁₀(2x²/x)).(1/(2x²/x.Ln 10)).(4x.x-2x².1/(x²)). Otras funciones compuestas y sus derivadas son:

 y = sen (e^x), f(x) =sen x, y g(x) = e^x ,luego y'=(sen(e^x)').(e^x)'    y' = cos (e^x).(e^x) = cos 2(e^x),                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 y = 10^1/x, si f(x) = 10^x y g(x) = 1/x, entonces (f_og)'(x)= (10^1/x.Ln 10).(-1/ x²). Analicemos las siguientes funciones y calculemos su derivada:

1) y = √(tg (2x)). Sea f(x) = √x, g(x) = tg x, h (x) = ax. Entonces y' = √(tg (2x)'.(tg 2x)'.(2x)'.  f(g(h(x)))' = 1/(2√(tg 2x).(sec² 2x).(2)

2) y = cotg (sen x). Sea f(x) = cotg x,  g(x) = sen x. Entonces (f_og)'(x) = -cosec² (sen x).(cos x)

3) y = (1/2x)². Sea f(x) = xⁿ, g(x) = 1/ax. Entonces (f_og)'(x) = 2(1/2x).((-1/(2x)²).(2)). Recuerda la fórmula para derivar una constante entre una función: 1/f(x)= (-1/(f(x)²)).(f '(x)).

4) y = (Ln (1/e^2x))². Sea f(x) = xⁿ, g(x) = Ln x, h (x) = c/f(x), i(x) = 2x. Entonces (f_og_oh_oi)'(x) = f '(g_oh_oi(x)).g'(h_oi(x)).h '(i(x)).i'(x)

y' = 2(Ln (3/e^2x ).(1/(1/e^2x) ).((-1/((e^2x)²)).( e^2x)).(2)

5) y = ((x² – x)^π)/3. Sea f(x) = f(x)/c, g(x) = xⁿ, h (x) = xⁿ - x. Entonces (f_og_oh)'(x) = f '(g_oh(x)).g'(h(x)).h '(x)     ((π(x² – x)^π-1)/3).( π(x² – x)^π-1).(2x)

6) y = Ln⁵ x³. Sea f(x) = x⁵, g(x) = Ln x³, h (x) = x³. Entonces (f_og_oh)'(x) = f '(g_oh(x)).g'(h(x)).h '(x).      (5Ln⁴ (x³)).(1/ x³).(3x²)

7) y = cosec 2x. Sea f(x) = cosec ax, g(x) = 2x. Entonces (f_og)'(x) = f '(g(x)).g'(x).

-(cosec 2x. cotg 2x).(2)        

8) y = cos √(2/x^{sen (x)}  ). Sea f(x) = cos x, g(x) = √x, h (x) = c/f(x), k(x)= sen x,

 luego y' = f '((g_oh_ok)(x).(g'(h_ok)(x)).(h'(k)(x)).(k'(x))

y' = -sen (√(2/x^{sen (x)}  ).(1/(2√(2/x^{sen (x)} ) )).((-2/( x^{sen (x)})²).(sen x^{sen x-1} .cos x)).(cos x).

9) y = sen² (cos 2x). Sea f(x) = x², g(x) = sen x, h (x) = cos ax, i(x) = 2x. Entonces (f_og_oh_oi)'(x) = f '(g_oh_oi(x)).g'(h_oi(x)).h '(i(x)).i'(x) =  (2sen (cos 2x)).(cos (cos 2x)).(-sen 2x).(2)

10) y = sec³ (e^{Ln (x)}). Sea f(x) = x³, g(x) = sec x, h (x) = e^x, k(x)=Ln (x). Entonces (f_og_oh_ok)'(x) = f '(g_oh_ok(x)).g'(h_ok(x)).h '(k(x)).k'(x) =  (3sec² (e^{Ln (x)})).(sec (e^{Ln (x)}).tg (e^{Ln (x)})).( e^{Ln (x)}).(1/x)

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¿COMO CALCULAR LA DERIVADA DE LA FUNCION INVERSA ? PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS.

Existen varios métodos para calcular la derivada de la inversa de una función, veamos el primero de ellos.

Teorema: sea y = f(x) continua en un intervalo cerrado [a, b], si f'(x) y es distinta de cero para toda [a, b], entonces la derivada de la inversa   f ^-1 denotada por    x = f ^-1 (y) existe y está dada por  dx/dy = 1/dy/dx ó si te parece más entendible:

f ^-1 (y)' = 1/ f'(x)

No tienes que aprenderte este teorema de memoria, veamos varios ejemplos para que vayas entendiendo.

Si y = f(x), calcule la derivada de su inversa; es decir calcule f^-1 (y)'

1)     y = x²

 Solución: Esta es la función cuadrática, la inversa de esta función denotada por        f ^-1(y) es la función raíz y factorizada es:  x = (y)^1/2. Al calcular f '(x) se tiene: 2x, entonces:  f ^-1 (y)': 1/(2x)

2)     y = 3w

Solución: la inversa de esta función denotada por f ^-1(y) es igual w = y/3. Al calcular f '(w) se tiene: 3, entonces f ^-1(y)': 1/3

3)     z = e^x

Solución: Esta es la función exponencial y su inversa la inversa   f ^-1 es la función logaritmo neperiano se denota:  f ^-1(z) es igual x = Ln z. Al calcular f '(x) se tiene: e^x, entonces f ^-1(z)': 1/(e^x)

     4) y = sen w

Solución: la inversa de la función seno, es seno^-1, entonces   f ^-1(y) es igual w = sen^-1 y. Al calcular   f '(w) se tiene: cos w, entonces f ^-1(y)': 1/(cos w)

5) z = 10^x.

Solución: Si a^x = N, donde N es cualquier numero positivo entonces x = Log_a N. Por lo que la inversa de esta función denotada por f ^-1(z) es igual x = Log₁₀ z, es decir la función logaritmo natural o en base 10. Al calcular f '(x) se tiene: 10^x.Ln 10, entonces     f ^-1(z)': 1/(10x.Ln 10)

El segundo método para calcular la derivada de la inversa de una función es el siguiente:

Teorema: Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] que contiene al número x₀, y f(x₀) = y₀. Entonces si f '(x₀) existe y es distinta de cero la (f ^-1)'(y₀) existe y es igual a : 

 (f ^-1)'(y₀) = 1/ f '(x₀)

Veamos varios ejemplos para comprender claramente lo antes expuesto.

Calcule la derivada de la inversa de la función en el x₀ dado.

1)     f (x) = 2x + 5x – Ln x   en x₀ = 2

Solución: evaluando a la función en el punto 2 se tiene: f (2) = 13.30. La derivada de esta función es: 2 + 5 – 1/x, y f '(x) > 0, esto indica que es continua, creciente y admite inversa, evaluando                  f '(2) = 6.5. Luego el punto [13.30, 2] está en la gráfica de f ^-1 y su derivada en el punto es:                       (f ^-1)'(13.30) = 1/6.5.

  2)     f (x) = 8x+ x/4x +2x en x₀ = 1

Solución: evaluando a la función en el punto 1 se tiene: f (1) = 4.5. La derivada de esta función es: (36x-(32x-4x)) /16x², como f '(x) > 0 esto indica que es continua, creciente y admite inversa, evaluando f '(1) = 0.5, luego el punto [4.5; 1] está en la gráfica de f ^-1 y su derivada en el punto es:

            (f ^-1)'(4.5) = 1/0.5

  3)     f (x) = 7x² en x₀ = 2

Solución: evaluando a la función en el punto 2 se tiene: f (2) = 28. La derivada de esta función es f '(x) = 14x, como f '(x) > 0 esto indica que es continua, creciente y admite inversa, evaluando f '(2) = 28, luego el punto [28; 2] está en la gráfica de f ^-1 y su derivada en el punto es:

 (f ^-1)' (28) = 1/28. Verifiquemos f ^-1(x) = (y/7)^1/2  y  f ^-1(x)'= (½(y/7)^-1/2)1/7        y       

  f ^-1(28)'= (½(28/7)^-1/2)1/7 = 1/28

   4 )     f (x) = -(1/x) en x₀ = ½

Solución: evaluando a la función en el punto 1/2 se tiene: f (0.5) = 2. La derivada de esta función es: (1/x²), como f '(x) > 0 esto indica que es continua, creciente y admite inversa, evaluando f '(0.5) = 4, luego el punto [2; 1/2] está en la gráfica de f ^-1 y su derivada en el punto es:

                        (f ^-1)'(2) = 1/4

5) f (x) = Ln x   en x₀ = 1

Solución: evaluando a la función en el punto 1 se tiene: f (1) = 0. La derivada de esta función es: (1/x), como f '(x) > 0 esto indica que es continua, creciente y admite inversa, evaluando  

f '(1) = 1, luego el punto [0; 1] está en la gráfica de f ^-1 y su derivada en el punto es:

(f ^-1)'(0) = 1/1. Verifiquemos f ^-1(x) = (e^x)  y  f ^-1(x)'= (e^x)  , luego          f ^-1(0)'= (e⁰) = 1.

6) f (x) = (x³/2x) + e^x   en x₀ = 3

Solución: evaluando a la función en el punto 3 se tiene: f (3) = 24.5. La derivada de esta función es: [((3x²)2x-3x²(2)) /4x²] + e^x , como  f '(x) > 0 esto indica que es continua, creciente y admite inversa, evaluando  f '(3) = 160.5, luego el punto [24.5; 3] está en la gráfica de f ^-1 y su derivada en el punto es:

   (f ^-1)' (24.5) = 1/160.5

El tercer método para calcular la derivada de la inversa de una función en mediante diferenciación implícita, si se tiene una función en la forma y = f(x) y se pide calcular la derivada de la inversa; es decir f ^-1 (x)' , entonces:

Primero:  se hace el cambio de variables en la forma y = f ^-1x  

Segundo:  se expresa a “x” en términos de “y” en la forma x = f(y),

Tercero: se deriva implícitamente esta última ecuación respecto a x.

Cuarto: al despejar a dy/dx se sustituye el valor de “y” obtenido en el primer paso.

Veamos varios ejemplos para comprender mejor este método.

Calcule la derivada de la inversa de las siguientes funciones mediante diferenciación implícita.

  1)     y = cos x²

Solución: ésta es una función compuesta, se hace el cambio de variables:                  

 y = arccos x², luego x = cos y², se deriva implícitamente respecto a “x”                                             1 = 2cos y².y'.-2sen y.y', luego se despeja dy/dx o y':                                                                                 y' = 1/(2cos y² - 2sen y), pero y = arccos x², entonces:

y' = 1/(2cos (arccos x²)² - 2sen (arccos x²))

     2) y = xⁿ

Solución: ésta es la función potencia de “n”, se hace el cambio de variables:                        

      y = ⁿ√x, luego x = ⁿ√y, se deriva implícitamente respecto a “x”                                       

 1 = [1/(2 ⁿ√y)].y'      luego se despeja dy/dx o y':                        

 y' = 1/(1/(2 ⁿ√y))           pero y = ⁿ√x, entonces:

y' = 1/ (1/ (2 ⁿ√( ⁿ√x)))          

  3)     y = 3x                                   

Solución:  se hace el cambio de variables:   y = x/3, luego x = 3y,                   

 se deriva implícitamente respecto a “x”      1 = 3(y)'                               

se despeja dy/dx o y':                                                                                           

y' = 1 /3

  4)    y = sen x                                                                                                                                                          Solución:  se hace el cambio de variables:        y = arcsen x    luego x = sen y,                                      se deriva implícitamente respecto a “x”             1 = cos y.y'                                                                    luego se despeja dy/dx o y':                                                                                                                

        y ' = 1/ cos y    pero 1/cos y = sec y entonces:                                                                                           y' = 1/ sec y        pero y = arcsen x    , entonces:                                                           

         y' = 1/ sec ( arcsen x )                  

  5)     y = cos x

Solución:  se hace el cambio de variables:       
 y = arccos x    luego x = cos y,                                    
    se deriva implícitamente respecto a “x”            

 1 = -sen y.y'          luego se despeja dy/dx o y':                                                                                       y' = -1/ sen y   pero    1/sen  y  = cosec y 

entonces:        y' = -cosec y  pero y = arccos x    , entonces:                                                                    y' = -cosec (arccos x)

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Aprende a calcular la ecuacion de la recta tangente y de la recta normal a la grafica de una funcion en un punto. Ejercicios y problemas resueltos.

¿Cómo se calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto?  Para ello se usa la formula siguiente:

Y – Y₀ = m(X – X₀), donde “m” es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en (X₀  ; Y₀). Para calcular “m”  se usa la siguiente formula:

m = Lim_x---->x0 [(f(x) – f(x₀)) /x – x₀]        la cual no es más que la fórmula para calcular la derivada de una función. Entonces cuando se pide calcular dicha ecuación solo se debe calcular su derivada, evaluarla en el punto (X₀) y sustituir los valores en la ecuación de la recta tangente. Veamos cinco ejemplos y algunos ejercicios resueltos. Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (x₀; f(x₀)) dado:     

1) F(x) = 17x² + 2    en el punto (2, 36)  F'(x) = 34x  y F'(2) = 68

 Por lo tanto la ecuación es    y – 36 = 68.(x – 2 )

2)  F(x) = x³ + 2    en el punto (2, 8)  F'(x) = 3x²  y F' (2) = 6

Por lo tanto la ecuación es    y – 8 = 6.(x – 2 )

3)  F(x) = sen x + 2x    en el punto (0, 0)  F'(x) = cos x + 2  y F' (0) = 3

Por lo tanto la ecuación es    y – 0 = 3.(x – 0 )

4)  F(x) = (1/x). (6^x)   en el punto (1 ,6)  F'(x) = -(1/x²). (6^x) + (1/x). (xLn6)   y F' (1) = -4.21.  Por lo tanto la ecuación es    y – 6 = -4.21.(x – 6 )

5)  F(x) = Ln x – cos x    en el punto (π, 0.15) F'(x) =     (1/x) + sen x    y F' (π) = 0.36

Por lo tanto la ecuación es    y – 0.15 = 0.36.(x – π )

6)  F(x) = sen x   en el punto (1/π, 0.0055)        F'(x) = cos x   y F' (2) = 0.99  Por lo tanto la ecuación es    y – 0.0055 =0.99.(x –1/π  )

¿Cómo se calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de una función en un punto?   La recta normal es la que es perpendicular a la gráfica de la función en un punto, por lo que esta recta tiene pendiente igual a: -(1/m). Para calcular la ecuación de la recta normal a la gráfica de una función en un punto (X₀  ; Y₀) se usa la siguiente ecuación.                                                                                                                                                  Y – Y₀ = -(1/m) (X – X₀). Veamos algunos ejemplos y varios ejercicios resueltos.

Calcule la ecuación de la recta normal a la curva y = f(x) en el punto (x₀; f(x₀)) dado:     

1)  F(x) = x³   en el punto (2 ,8)  F'(x) = 3x²    y F' (2) = 12

y – 8 = -(1/12).(x –2 )

2)  F(x) = x⁴ + x²   en el punto (1 ,2)  F'(x) = 4x³ + 2x   y F' (1) = 6

y – 2 = -(1/6).(x –1 )

3)  F(x) = 5x⁵ – 7x   en el punto (1 ,-2)  F'(x) = 25x⁴ – 7   y F' (1) = 18

y + 2 = -(1/18).(x –1 )

4)  F(x) = (-x/2x)   en el punto (3; -0.5)  F'(x) = 2x + 2x

y F' (3) = 12    

y + 0.5  = -(1/12).(x –3 )

5)  F(x) = (3x + 2) /(2x)   en el punto (1 , 2.5)  F'(x) = (3.(2x) – 3x+2.(2))/2x²   y F' (1) = ½                 y – 2.5 = -(1/0.5).(x – 1 )   

7) F(x) = 4/3(π. r³)   en el punto (1 ,  4.18). Esta es la fórmula para calcular el volumen de un globo y   F'(x) = 4/3.(3.(π.r²)) la cual evaluada en el punto x₀= 1 da como resultado 12.56                           y – 4.18 = -(1/12.56).(x –1 )

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Como resolver facilmente ejercicios de razones de cambio relacionadas ó tasas de variación relacionadas. problemas resueltos

En este tipo de problemas se tiene una función compuesta en el que las variables varían respecto al tiempo, pero a su vez una de estas variables varia respecto a la otra. De forma general si se tienen dos variables sean A y B y estas dependen del tiempo, pero a su vez A depende de B se debe plantear la siguiente ecuación:

 dA/dt = (dA/dB). (dB/dt). Por ejemplo, en problemas de dinámica de partículas la velocidad varía respecto al tiempo, pero a su vez la velocidad es la tasa de variación de la distancia respecto al tiempo, y a su vez la distancia depende del tiempo matemáticamente se expresa así:  dv/dt = (dv/ds). (ds/dt). Entonces ¿Cómo resolver este tipo de problemas? Primero se sugiere leer cuidadosamente el enunciado, si es útil dibujar una figura de la situación. Luego definir las variables de la ecuación, primero se define la variable “t” y luego la relación de las otras 2 variables con “t”. Escribir los hechos numéricos acerca de las variables y sus derivadas con respecto a “t”. Luego escribir lo que se desea determinar y escribir una ecuación que relacione las variables que dependen de “t”. Seguidamente derivar respecto a “t” a los dos miembros de la ecuación obtenida anteriormente para relacionar sus tasas devariación y por ultimo sustituir las cantidades conocidas para despejar la cantidad deseada. Por ultimo dar una conclusión que responda las preguntas del problema. Veamos unos ejemplos y algunos ejercicios propuestos tomados del libro EL CALCULO DE LOUIS LEITHOLD:

1)     Se infla un globo esférico de modo que su volumen se incrementa a una tasa de 5 m³/min. ¿A qué tasa aumenta el diámetro cuando este es de 12 m?

Sea t el tiempo transcurrido desde que inicia el inflado del globo, V su volumen a los “t” minutos y D su diámetro a los “t” minutos. Entonces dV/dt=5 m³/min. Como el volumen depende del diámetro y este a su vez del tiempo y se pide calcular dD/dt cuando D= 12m. En cualquier tiempo el volumen de una esfera es: V_e= 4/3. π.r³ pero se necesita una ecuación que relación a V y D, para ello se sustituye r= D/2 en la ecuación anterior y se deriva respecto a D: V_e= 4/3. π.(D/2)³                                                       dV/dD = 4/3.π.3((D/2)²).(1/2)  se plantea la siguiente ecuación:                                                                 dV/d/t=(dV/dD).(dD/dt), y se sustituyen las cantidades conocidas:                                   5 m³/min =4/3.π.3((D/2)²).(1/2)  .(dD/dt)    Resolviendo para  dD/dt:

  dD/dt = (5 m³/min)/( 4/3.π.3((6)²).(1/2)) = 0.022 m/min.

2)     Se está formando una bola de nieve y su volumen se incrementa a una tasa de 8 pie³/min. Determine la tasa a la que el radio aumenta cuando el diámetro de la bola es de 4 pie.

Se conoce que dV/d/t = 8 pie³/min, y se pide calcular dr/dt cuando el diámetro es: 4 pie. Entonces se debe relacionar en la fórmula del volumen de una esfera al volumen con el radio, para ello se hace r= D/2 = 2 pie y se sustituye en la siguiente formula: V_e= 4/3. π.r³ = 4/3. π.(2)³  y dV/dr = 4.π.r²  = 4.π.(2)²   = 33.49 pie². Como el volumen depende del radio y este a su vez del tiempo se plantea la siguiente ecuación:

dV/d/t=(dV/dr). (dr/dt) 

8 pie³/min =33.49 pie³. (dr/dt) luego (dr/dt) = (8 pie³/min) / (33.49 pie²)= 0.23 pie /min.

3)      Se deja caer arena en un montículo de forma cónica a una tasa de 10m³/min. Si la altura del montículo siempre es el doble del radio de la base ¿a qué tasa se incrementa la altura cuando ésta es de 8 m?

Sea “t” el tiempo desde que empieza a caer la arena y sea V el volumen de un cono: V_c= 1/3πr²H. Pero H= 2r lo que es lo mismo r = H/2, entonces V_c= (1/3) π.(H/2)².H = 1/3π(H³/4) y dV/d/H= π(H²/4).(½H). Como se conoce dV/d/t = 10m³/min y se pide calcular dH/dt, se plantea la siguiente ecuación:

  dV/d/t=(dV/dH). (dH/dt).   y   dH/dt = (dV/d/t)/(dV/dH)

dH/dt = (10m³/min) /(π(H²/4). (½H)) pero dV/d/H= π.(64²/4).(8)= 25722.88 m²

dH/dt = (10m³/min) /(25722.88m²) = 0.00038 m/min.

4)     Un tanque para almacenar agua tiene forma de cono invertido y se vacía a una tasa de 6 m³/min. La altura del cono es de 24 m y su radio mide 12 m. Determine que tan rápido disminuye el nivel del agua cuando ésta tiene una profundidad de 10 m.

Primero se definen las variables, sea “t” el tiempo desde que empieza a vaciarse el tanque, V su volumen a los “t” minutos, H la cantidad de metros de altura a los “t” minutos y “r” el número de metros del radio de la superficie del agua a los “t” minutos.

Puesto que el tanque se vacía a una tasa de 6 m³/min, entonces dV/dt = -6 m³/min. Se desea determinar dH/dt cuando H= 10 m. En cualquier momento el volumen del tanque se puede expresar como el volumen de un cono: V_c= 1/3πr²H.

Entonces se necesita una ecuación que involucre a dV/dt y dH/dt, para ello se expresa a “r” en términos de H, de trigonometría se sabe que r/H = 12/24 → r= (3/6).H. Sustituyendo este valor en la fórmula del volumen de un cono se tiene:      V_c= 1/3π(0.5H)²H → V_c= 0.26H³. Al diferenciar implícitamente los dos miembros de la ecuación anterior aplicando la regla de la cadena se tiene:

dV_c/d/t=(0.78H²). (dH/dt).  Ahora se sustituyen las cantidades conocidas y se resuelve para dH/dt.

dH/dt = (-6 m³/min.) / ( 0.78H² ) = -0.0769 m/min. El nivel del agua disminuye a una tasa de 7.69 cm/min.

5)      Cierta cantidad de aceite fluye hacia el interior de un depósito que tiene forma de cono invertido a una tasa de 3π m³/min. Si el depósito tiene un radio de 2.5 m en su parte superior y una altura de 10 m ¿qué tan rápido varía el nivel del aceite cuando éste ha alcanzado 8 m profundidad.

Este es un ejercicio semejante al anterior, primero se definen las variables, sea “t” el tiempo desde que empieza a fluir el aceite, V el volumen de aceite a los “t” minutos, H la cantidad de metros de altura a los “t” minutos y “r” el número de metros del radio de la superficie del agua a los “t” minutos.

Puesto que el aceite fluye a una tasa de 3π m³/min, entonces dV/dt = 3π m³/min. Se desea determinar dH/dt cuando H= 8 m. En cualquier momento el volumen del depósito se puede expresar como el volumen de un cono: V_c= 1/3πr²H.

Entonces se necesita una ecuación que involucre a dV/dt y dH/dt, para ello se expresa a r en términos de H, de trigonometría se sabe que r/H = 2.5/10 → r= 0.25H. Sustituyendo este valor en la fórmula del volumen de un cono se tiene:      V_c= 1/3π(0.25H)²H → V_c= 1/3π(0.0625).H³. Al diferenciar implícitamente los dos miembros de la ecuación anterior aplicando la regla de la cadena se tiene:

dV_c/d/t=(3. (0.0654) H².).(dH/dt)  Ahora se sustituyen las cantidades conocidas y se resuelve para dH/dt.

dH/dt = (3π m³/min.)/(12.56 m²/min) = 0.75 m/min. El nivel del aceite se incrementa a una tasa de 75 cm/min.

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¿COMO RESOLVER PROBLEMAS PARA CALCULAR LA RECTA TANGENTE QUE SEA PARALELA O PERPENDICULAR O UNA RECTA DADA EN LA FORMA AX + B = 0 ? EJERCICIOS RESUELTOS

En este post te quiero explicar de una manera fácil como resolver problemas relacionados con rectas tangentes a un punto de la gráfica de una función, pero a su vez esta recta tangente es paralela o perpendicular a otra recta dada generalmente de la forma ax + b = 0.

De la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta se tiene: y – y₁ = m(x – x₁), donde “m” es la pendiente de la recta dada. Dada una función en la forma y= f(x) se debe calcular su derivada y luego igualarla al valor de la derivada de la recta dada en la forma ax + b = 0, esto con el fin de asegurar que la tangente tenga pendiente igual a la recta ax + b = 0 en un punto de la gráfica y por consiguiente sean paralelas. Otra forma de calcular la pendiente de una recta es calcular la derivada de la función mediante la definición de limite. Veamos un ejemplo:

RECTA TANGENTE QUE ES PARALELA A OTRA RECTA

Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x² + 3 que sea paralela a la recta 8x – y + 3 = 0.

Primero se calcula dy/dx = 4x,

Luego se calcula la derivada de la recta 8x – y + 3 = 0, resolviendo para y se tiene: y = 3 + 8x,    y' = 8. La recta tiene pendiente 8.

Luego se igualan estas dos derivadas para encontrar un x₀

4x =  8,   x = 8/4. Este valor de x₀ es el punto donde la recta tangente a la curva    y = 2x² + 3  es paralela a la recta 8x – y + 3 = 0. Luego evaluando y(8/4)= 2(2)² + 3 =  12. Como la tangente es paralela a la recta 8x – y + 3 = 0 su pendiente en este punto es igual a 8. Entonces: x₀ = 2,     y₀ = 12, m= 8, la ecuación buscada es:            y – 12 = 8(x - 2).

RECTA TANGENTE QUE ES PERPENDICULAR A OTRA RECTA

De forma igual que la situación anterior dada una curva en la forma y= f(x) se debe calcular su derivada y luego igualarla al valor del inverso de la derivada de la recta dada en la forma ax + b = 0, esto con el fin de asegurar que la tangente sea perpendicular a la recta ax + b = 0, ya que dicha recta tiene pendiente = -(1/m_t); es decir su pendiente es el inverso de la pendiente de la tangente a la curva en un punto dado. Veamos un ejemplo:

Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva y = 3x² – 4 que sea perpendicular a la recta x + 4y = 4.

Primero se calcula la derivada de la curva: y' = 6x.

Luego la derivada de la recta y = (4 – x)/4.    y' = -1/4, pero como la recta tiene pendiente igual a –(1/m_t) se hace -1/4 = –(1/m_t);  por lo que  m_t = 1/(1/4) = 4,  y para calcular el punto de tangencia en un x₀, hacemos  m_t = 6x;    x₀ = m_t/6;  x₀ = 0.66

Verifiquemos y'(0.66) = 4  y este valor es igual a m_t = 4. Lo que garantiza que la recta tiene pendiente igual al inverso de la pendiente de la tangente esto es :

m_r = -(1/m_t);   m_r = -(1/4) =   lo que coincide con el valor de la derivada de la recta  y' = -1/4. Entonces evaluando a la curva en el x₀ = 0.66 se tiene:

y = 3(0.66)² – 4 = -2.69 . Ya tenemos x₀ = 0.66, y₀ = -2.69, m_t = 4 , la ecuación buscada es:            y + 2.69 = 4(x - 0.66).

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