COMO DERIVAR FUNCIONES DADAS IMPLICITAMENTE.

DERIVADAS DE FUNCIONES DADAS IMPLICITAMENTE.

¿Cómo derivar funciones dadas implicitamente? Cuando se tiene una función donde y es función de x y se pide calcular dy/dx se deben derivar todas las variables aplicando las distintas técnicas de derivación pero cada vez que se derive la variable y  se le debe agregar a este resultado el componente dy/dx, ejemplo si se tiene la función 2y + 2xy = 9  y y  es función de x entonces al derivar se tiene : 2.dy/dx + 2.y + 2x.(1). dy/dx = 0 al agrupar terminos semejantes se tiene: dy/dx.(2 + 2x) = -2x – 2y despejando dy/dx:

dy/dx = -2x – 2y/((2 + 2x)). Veamos algunos ejemplos donde y es función de x.

Determine dy/dx por medio de diferenciación implícita.

1) x² + y² = 16   2x + 2y.dy/dx = 0         dy/dx = -x/y

2) 4x² + 9y² = 1   8x + 18y.dy/dx = 0     dy/dx = 8x/18y

3) x³ + y³ = 8xy    3x + 3y.dy/dx = 8y + 8x.dy/dx      -5.dy/dx = 8y – 3x

4) x² + y² = 7xy    2x + 2y.dy/dx= 7y + 7x. dy/dx      dy/dx= 7y – 2x/(-5)

5) 1/x + 1/y = 1  -1/x² + (-1/y²). dy/dx = 0          dy/dx= (1/x²)/(- 1/y²).

6) 3/x - 3/y = 2x    -3/x² - (-3/y²). dy/dx = 2        dy/dx= (3/x²)/(1/y²).    

7) x^1/2 + y^1/2 = 4    1/2x + 1/2y. dy/dx= 0      dy/dx= (-1/2x)/1/2y.   

8) 2x³y + 3xy⁵ = 5    6x².y + 2x³.dy/dx =  0     dy/dx =  (6x².y)/2x³

9) x²y² = x² + y²      2xy² + x²2y.dy/dx = 2x +2y     dy/dx= (2x + 2y -2xy²)/ x²2y

10) (2x² + 3)²  = Aqui se tiene una funcion compuesta:
   2(2x² + 3).(4x) = 12y³.dy/dx  

 dy/dx= (16x³ + 24x)/ 12y³

11)  sec² x + csc² y = 4    Aqui se tienen dos funciones trigonomètricas compuestas: 
2sec x.(sec x.tan x) + 2csc y.(-csc y.cot y).dy/dx = 0

dy/dx = (-2sec x.(sec x.tan x))/( 2csc y.(-csc y.cot y))

12) xsen y + ycos x = 1     Aqui se tiene la suma del producto de dos funciones trigonometricas: (sen y + x.cos y.dy/dx) + (dy/dx.cos x – y.sen y) = 0

dy/dx = (-seny + y.sen y)/ (x.cos y + cos x)

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