En el cálculo
matemático y en la vida real se presentan muchos casos en los que una variable
A depende de dos parámetros B y C, pero a su vez A y B depende de C. entonces
se está en presencia de una función compuesta en la forma A(B(C)); y para
calcular su derivada se expresa del siguiente modo: A(B(C))' =
dA/dC = (dA/dB).(dB/dC),
porque A depende de B y ésta a su vez depende de C. La relación anterior es
conocida como la regla de la cadena y expresa la tasa de variación A respecto a
C.
Veamos algunos
ejercicios resueltos para entender lo antes expuesto y luego veremos otro
método para derivar funciones potencias compuestas en las que el exponente es
una función. Aplique la regla de la cadena para calcular y'=dy/dx en cada una
de las siguientes funciones:
1) y= u2
+ 3u-4, u= 3x +3. Solución: “y” depende de “u”, que a su vez depende de “x”. Esto
es: y(u(x)), luego dy/dx= (dy/du).(du/dx) = (2u + 3).(3) = (6u + 9), pero u =
3x+3 entonces: dy/dx= (6(3x+3) + 9) = (18x + 36)
2) y= 3√z2, z= 2u – u, u = 1/x. Solución: “y” depende de “z”,
que a su vez depende de “u”, y “u” depende de “x”. Esto es: y(z(u(x))), luego
dy/dx= (dy/dz).(dz/du).(du/dx) = (2/3z-1/3).(2).(-1/x2) =
sustituyendo a “z” y “u”: (2/3((2/x-1/x)-1/3)).(-2/x2) = -8/3x-1/3+4/3x-1/3.
3) y= w2
+ 1/w, w= ez, z= x/i. Solución: “y” depende de “w”, que a su vez depende de “z”
y esta última depende de “x”. Esto es:
y(w(z(x))), luego dy/dx= (dy/dw).(dw/dz).(dz/dx) = (2w -1/w2)(e).(1/i)
= (2ew-e/w2)/i, sustituyendo a “w”: (2e(ez)-e/(ez)2)/i. =
(2e2z- e/(ez)2) y por último se sustituye a “z”: (2e2(x/i)-
e/(e(x/i))2)
4) y= u3,
u= x3 . Solución: “y” depende de “u”, que a su vez depende de “x”. Esto
es: y(u(x)), luego dy/dx= (dy/du).(du/dx) = (3u2).(3x2) =
(3(x3)2).(3x2) = 3x6+3x2
5) V=z3,
z= 2x. Solución: V depende de “z” que a su vez depende “x”, esto es: V(z(x)),
luego dV/dx = (dV/dz).(dz/dx) = 3z2.(2) = 6z2, se
sustituye a z=2x y se tiene: 12x2
6) V =4/3πr3,
r = 2x, x= 0.2t2. Solución: V depende de “r” que a su vez depende “x”,
y “x” depende de “t”, esto es: V(r(x(t))), luego dV/dt = (dV/dr).(dr/dx).(dx/dt)
= (4 πr2).(2).(0.4t)= 8.32tπr2, se sustituye a r=2x y se
tiene: 8.32tπ(2x)2 = 104.4tx2= 104.4t(0.2t2)2
= 4.17t5
7) V = 1/3Bh, h
= 0.5t. Solución: V depende de “h” que a su vez depende “t”, esto es: V(h(t)),
luego dV/dt = (dV/dh).(dh/dt) = (1/3B).(0.5) = 0.16B
8) S = 6x2,
x=2a. Solución: S depende de “x” que a su vez depende “a”, esto es: S(x(a)),
luego dS/da = (dS/dx).(dx/da) = 12x.(2) = 12x = 24a.
9) V= hx2,
h= 0.7t2. Solución: V depende de “h” que a su vez depende “t”, esto
es: V(h(t)), luego dV/dt = (dV/dh).(dh/dt) = (x2).(1.4t) = 1.4x2t.
10) P= VC, V=
0.6r, r = 2T, T = 1/t. Solución: P depende de “V” que a su vez depende “r”, esta
depende de la temperatura que a su vez depende del tiempo, esto es: P(V(r(T(t)))),
luego dP/dt = (dP/dV).(dV/dr).( dr/dT).(dT/dt) = (C).(0.6).(2).(-1/t2)
= -(1.2C/t2)
Otra forma en
la que se tiene una función compuesta es cuando se presentan funciones
así: Ln(x3), si f(x)= Ln(x) y
g(x) = xn, en este caso se deben identificar cuantas funciones hay y
determinar la función más externa hasta la más interna, entonces la función compuesta
se denota f(g(x)) o también se representa así:
(fog)(x)
y la derivada de la funcion compuesta es: f'(g(x)).(g'(x )), para el caso de estudio (fog)(x)=
Ln (x3) y aplicando la regla de la cadena su derivada es:
(fog)'(x)= ((Ln (x3)').(x3)'
= (1/(x3)).(3x2). Para el caso de tener la composición de más de 2 funciones, por
ejemplo y = fohok, como en:
y = sec (Log10(2x2/x)), entonces y' = f '((hok)(x).(h'(k(x)).(k)'.
Es decir:
sec
(Log10(2x2/x))' = sec (Log10(2x2/x))'.(Log10(2x2/x))'.(2x2/x)'
Sec (Log10(2x2/x).tg
(Log10(2x2/x)).(1/(2x2/x.Ln 10)).(4x.x-2x2.1/(x2)).
Otras funciones compuestas y sus derivadas son:
y = sen (ex), f(x) =sen x, y g(x) =
ex ,luego y'=(sen(ex)').(ex)' y' = cos (ex).(ex) =
cos 2(ex), y
= 101/x, si f(x) = 10x y g(x) = 1/x, entonces (fog)'(x)=
(101/x.Ln 10).(-1/ x2). Analicemos las siguientes
funciones y calculemos su derivada:
1) y = √(tg
(2x)). Sea f(x) = √x, g(x) = tg x, h (x) = ax. Entonces y' = √(tg (2x)'.(tg
2x)'.(2x)'. f(g(h(x)))' = 1/(2√(tg 2x).(sec2 2x).(2)
2) y = cotg (sen x). Sea f(x) = cotg x, g(x) = sen x. Entonces (fog)'(x) =
-cosec2 (sen x).(cos x)
3) y = (1/2x)2.
Sea f(x) = xn, g(x) = 1/ax. Entonces (fog)'(x) =
2(1/2x).((-1/(2x)2).(2)). Recuerda la fórmula para derivar una
constante entre una función: 1/f(x)= (-1/(f(x)2)).(f '(x)).
4) y = (Ln (1/e2x))2.
Sea f(x) = xn, g(x) = Ln x, h (x) = c/f(x), i(x) = 2x. Entonces (fogohoi)'(x)
= f '(gohoi(x)).g'(hoi(x)).h '(i(x)).i'(x)
y' = 2(Ln (3/e2x ).(1/(1/e2x) ).((-1/((e2x)2)).(
e2x)).(2)
5) y = ((x2
– x)π)/3. Sea f(x) = f(x)/c, g(x) = xn, h (x) = xn
- x. Entonces (fogoh)'(x) = f '(goh(x)).g'(h(x)).h
'(x) ((π(x2 – x)π-1)/3).( π(x2
– x)π-1).(2x)
6) y = Ln5
x3. Sea f(x) = x5, g(x) = Ln x3, h (x) =
x3. Entonces (fogoh)'(x) = f '(goh(x)).g'(h(x)).h
'(x). (5Ln4 (x3)).(1/
x3).(3x2)
7) y = cosec 2x.
Sea f(x) = cosec ax, g(x) = 2x. Entonces (fog)'(x) = f '(g(x)).g'(x).
-(cosec 2x.
cotg 2x).(2)
8) y = cos √(2/xsen
(x) ). Sea f(x) = cos x, g(x) = √x,
h (x) = c/f(x), k(x)= sen x,
luego y' = f '((gohok)(x).(g'(hok)(x)).(h'(k)(x)).(k'(x))
y' = -sen
(√(2/xsen (x) ).(1/(2√(2/xsen
(x) ) )).((-2/( xsen (x))2).(sen xsen
x-1 .cos x)).(cos x).
9) y = sen2
(cos 2x). Sea f(x) = x2, g(x) = sen x, h (x) = cos ax, i(x) =
2x. Entonces (fogohoi)'(x) = f '(gohoi(x)).g'(hoi(x)).h
'(i(x)).i'(x) = (2sen (cos 2x)).(cos
(cos 2x)).(-sen 2x).(2)
10) y = sec3
(eLn (x)). Sea f(x) = x3, g(x) = sec x, h (x) = ex, k(x)=Ln (x). Entonces (fogohok)'(x)
= f '(gohok(x)).g'(hok(x)).h '(k(x)).k'(x)
= (3sec2 (eLn (x))).(sec
(eLn (x)).tg (eLn (x))).( eLn (x)).(1/x)
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