¿COMO DERIVAR UNA FUNCION COMPUESTA? LA REGLA DE LA CADENA. PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS!!!

En el cálculo matemático y en la vida real se presentan muchos casos en los que una variable A depende de dos parámetros B y C, pero a su vez A y B depende de C. entonces se está en presencia de una función compuesta en la forma A(B(C)); y para calcular su derivada se expresa del siguiente modo: A(B(C))' =

dA/dC = (dA/dB).(dB/dC), porque A depende de B y ésta a su vez depende de C. La relación anterior es conocida como la regla de la cadena y expresa la tasa de variación A respecto a C.

Veamos algunos ejercicios resueltos para entender lo antes expuesto y luego veremos otro método para derivar funciones potencias compuestas en las que el exponente es una función. Aplique la regla de la cadena para calcular y'=dy/dx en cada una de las siguientes funciones:

1) y= u² + 3u-4, u= 3x +3. Solución: “y” depende de “u”, que a su vez depende de “x”. Esto es: y(u(x)), luego dy/dx= (dy/du).(du/dx) = (2u + 3).(3) = (6u + 9), pero u = 3x+3 entonces: dy/dx= (6(3x+3) + 9) = (18x + 36)

2) y= ³√z²,  z= 2u – u, u = 1/x. Solución: “y” depende de “z”, que a su vez depende de “u”, y “u” depende de “x”. Esto es: y(z(u(x))), luego dy/dx= (dy/dz).(dz/du).(du/dx) = (2/3z^-1/3).(2).(-1/x²) = sustituyendo a “z” y “u”: (2/3((2/x-1/x)^-1/3)).(-2/x²) =                         -8/3x^-1/3+4/3x^-1/3.

3) y= w² + 1/w, w= ez, z= x/i. Solución: “y” depende de “w”, que a su vez depende de “z” y esta última depende de “x”.  Esto es: y(w(z(x))), luego dy/dx= (dy/dw).(dw/dz).(dz/dx) = (2w -1/w²)(e).(1/i) = (2ew-e/w²)/i, sustituyendo a “w”: (2e(ez)-e/(ez)²)/i. = (2e²z- e/(ez)²) y por último se sustituye a “z”: (2e²(x/i)- e/(e(x/i))²)

4) y= u³, u= x³ . Solución: “y” depende de “u”, que a su vez depende de “x”. Esto es: y(u(x)), luego dy/dx= (dy/du).(du/dx) = (3u²).(3x²) = (3(x³)²).(3x²) = 3x⁶+3x²

5) V=z³, z= 2x. Solución: V depende de “z” que a su vez depende “x”, esto es: V(z(x)), luego dV/dx = (dV/dz).(dz/dx) = 3z².(2) = 6z², se sustituye a z=2x y se tiene: 12x²

6) V =4/3πr³, r = 2x, x= 0.2t². Solución: V depende de “r” que a su vez depende “x”, y “x” depende de “t”, esto es: V(r(x(t))), luego dV/dt = (dV/dr).(dr/dx).(dx/dt) = (4 πr²).(2).(0.4t)= 8.32tπr², se sustituye a r=2x y se tiene: 8.32tπ(2x)² = 104.4tx²= 104.4t(0.2t²)² = 4.17t⁵

7) V = 1/3Bh, h = 0.5t. Solución: V depende de “h” que a su vez depende “t”, esto es: V(h(t)), luego dV/dt = (dV/dh).(dh/dt) = (1/3B).(0.5) = 0.16B

8) S = 6x², x=2a. Solución: S depende de “x” que a su vez depende “a”, esto es: S(x(a)), luego dS/da = (dS/dx).(dx/da) = 12x.(2) = 12x = 24a.

9) V= hx², h= 0.7t². Solución: V depende de “h” que a su vez depende “t”, esto es: V(h(t)), luego dV/dt = (dV/dh).(dh/dt) = (x²).(1.4t) = 1.4x²t.

10) P= VC, V= 0.6r, r = 2T, T = 1/t. Solución: P depende de “V” que a su vez depende “r”, esta depende de la temperatura que a su vez depende del tiempo, esto es: P(V(r(T(t)))), luego dP/dt = (dP/dV).(dV/dr).( dr/dT).(dT/dt) = (C).(0.6).(2).(-1/t²) =   -(1.2C/t²)

Otra forma en la que se tiene una función compuesta es cuando se presentan funciones así:  Ln(x³), si f(x)= Ln(x) y g(x) = xⁿ, en este caso se deben identificar cuantas funciones hay y determinar la función más externa hasta la más interna, entonces la función compuesta se denota f(g(x)) o también se representa así:

(f_og)(x) y la derivada de la funcion compuesta es: f'(g(x)).(g'(x )), para el caso de estudio (f_og)(x)= Ln (x³) y aplicando la regla de la cadena su derivada es:

 (f_og)'(x)= ((Ln (x³)').(x³)' = (1/(x³)).(3x²).  Para el caso de tener la composición de más de 2 funciones, por ejemplo y = f_oh_ok, como en:

y =  sec (Log₁₀(2x²/x)),  entonces y' = f '((h_ok)(x).(h'(k(x)).(k)'. Es decir:

 sec (Log₁₀(2x²/x))' =  sec (Log₁₀(2x²/x))'.(Log₁₀(2x²/x))'.(2x²/x)'

Sec (Log₁₀(2x²/x).tg (Log₁₀(2x²/x)).(1/(2x²/x.Ln 10)).(4x.x-2x².1/(x²)). Otras funciones compuestas y sus derivadas son:

 y = sen (e^x), f(x) =sen x, y g(x) = e^x ,luego y'=(sen(e^x)').(e^x)'    y' = cos (e^x).(e^x) = cos 2(e^x),                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 y = 10^1/x, si f(x) = 10^x y g(x) = 1/x, entonces (f_og)'(x)= (10^1/x.Ln 10).(-1/ x²). Analicemos las siguientes funciones y calculemos su derivada:

1) y = √(tg (2x)). Sea f(x) = √x, g(x) = tg x, h (x) = ax. Entonces y' = √(tg (2x)'.(tg 2x)'.(2x)'.  f(g(h(x)))' = 1/(2√(tg 2x).(sec² 2x).(2)

2) y = cotg (sen x). Sea f(x) = cotg x,  g(x) = sen x. Entonces (f_og)'(x) = -cosec² (sen x).(cos x)

3) y = (1/2x)². Sea f(x) = xⁿ, g(x) = 1/ax. Entonces (f_og)'(x) = 2(1/2x).((-1/(2x)²).(2)). Recuerda la fórmula para derivar una constante entre una función: 1/f(x)= (-1/(f(x)²)).(f '(x)).

4) y = (Ln (1/e^2x))². Sea f(x) = xⁿ, g(x) = Ln x, h (x) = c/f(x), i(x) = 2x. Entonces (f_og_oh_oi)'(x) = f '(g_oh_oi(x)).g'(h_oi(x)).h '(i(x)).i'(x)

y' = 2(Ln (3/e^2x ).(1/(1/e^2x) ).((-1/((e^2x)²)).( e^2x)).(2)

5) y = ((x² – x)^π)/3. Sea f(x) = f(x)/c, g(x) = xⁿ, h (x) = xⁿ - x. Entonces (f_og_oh)'(x) = f '(g_oh(x)).g'(h(x)).h '(x)     ((π(x² – x)^π-1)/3).( π(x² – x)^π-1).(2x)

6) y = Ln⁵ x³. Sea f(x) = x⁵, g(x) = Ln x³, h (x) = x³. Entonces (f_og_oh)'(x) = f '(g_oh(x)).g'(h(x)).h '(x).      (5Ln⁴ (x³)).(1/ x³).(3x²)

7) y = cosec 2x. Sea f(x) = cosec ax, g(x) = 2x. Entonces (f_og)'(x) = f '(g(x)).g'(x).

-(cosec 2x. cotg 2x).(2)        

8) y = cos √(2/x^{sen (x)}  ). Sea f(x) = cos x, g(x) = √x, h (x) = c/f(x), k(x)= sen x,

 luego y' = f '((g_oh_ok)(x).(g'(h_ok)(x)).(h'(k)(x)).(k'(x))

y' = -sen (√(2/x^{sen (x)}  ).(1/(2√(2/x^{sen (x)} ) )).((-2/( x^{sen (x)})²).(sen x^{sen x-1} .cos x)).(cos x).

9) y = sen² (cos 2x). Sea f(x) = x², g(x) = sen x, h (x) = cos ax, i(x) = 2x. Entonces (f_og_oh_oi)'(x) = f '(g_oh_oi(x)).g'(h_oi(x)).h '(i(x)).i'(x) =  (2sen (cos 2x)).(cos (cos 2x)).(-sen 2x).(2)

10) y = sec³ (e^{Ln (x)}). Sea f(x) = x³, g(x) = sec x, h (x) = e^x, k(x)=Ln (x). Entonces (f_og_oh_ok)'(x) = f '(g_oh_ok(x)).g'(h_ok(x)).h '(k(x)).k'(x) =  (3sec² (e^{Ln (x)})).(sec (e^{Ln (x)}).tg (e^{Ln (x)})).( e^{Ln (x)}).(1/x)

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