En este post te quiero explicar de una manera fácil como resolver
problemas relacionados con rectas tangentes a un punto de la gráfica de una
función, pero a su vez esta recta tangente es paralela o perpendicular a otra
recta dada generalmente de la forma ax + b = 0.
De la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta se tiene: y
– y1 = m(x – x1), donde “m” es la pendiente de la recta
dada. Dada una función en la forma y= f(x) se debe calcular su derivada y luego
igualarla al valor de la derivada de la recta dada en la forma ax + b = 0, esto
con el fin de asegurar que la tangente tenga pendiente igual a la recta ax + b
= 0 en un punto de la gráfica y por consiguiente sean paralelas. Otra forma de
calcular la pendiente de una recta es calcular la derivada de la función
mediante la definición de limite. Veamos un ejemplo:
RECTA TANGENTE QUE ES PARALELA A OTRA RECTA
Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x2
+ 3 que sea paralela a la recta 8x – y + 3 = 0.
Primero se calcula dy/dx = 4x,
Luego se calcula la derivada de la recta 8x – y + 3 = 0,
resolviendo para y se tiene: y = 3 + 8x, y' = 8. La recta tiene pendiente 8.
Luego se igualan estas dos derivadas para encontrar un x0
4x = 8, x = 8/4. Este valor de x0 es el
punto donde la recta tangente a la curva y = 2x2 + 3 es paralela a la recta 8x – y + 3 = 0. Luego evaluando
y(8/4)= 2(2)2 + 3 = 12. Como la
tangente es paralela a la recta 8x – y + 3 = 0 su pendiente en este punto es
igual a 8. Entonces: x0 = 2, y0 = 12, m= 8, la ecuación buscada
es: y – 12 = 8(x - 2).
RECTA TANGENTE QUE ES PERPENDICULAR A OTRA RECTA
De forma igual que la situación anterior dada una curva en la forma
y= f(x) se debe calcular su derivada y luego igualarla al valor del inverso de
la derivada de la recta dada en la forma ax + b = 0, esto con el fin de
asegurar que la tangente sea perpendicular a la recta ax + b = 0, ya que dicha
recta tiene pendiente = -(1/mt); es decir su pendiente es el inverso
de la pendiente de la tangente a la curva en un punto dado. Veamos un ejemplo:
Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva y = 3x2
– 4 que sea perpendicular a la recta x + 4y = 4.
Primero se calcula la derivada de la curva: y' = 6x.
Luego la derivada de la recta y = (4 – x)/4. y' = -1/4,
pero como la recta tiene pendiente igual a –(1/mt) se hace -1/4 = –(1/mt); por lo que mt = 1/(1/4) = 4, y para calcular el punto de tangencia en un x0,
hacemos mt = 6x; x0
= mt/6; x0 = 0.66
Verifiquemos y'(0.66) = 4 y
este valor es igual a mt = 4. Lo que garantiza que la recta tiene
pendiente igual al inverso de la pendiente de la tangente esto es :
mr = -(1/mt); mr = -(1/4) = lo que
coincide con el valor de la derivada de la recta y' = -1/4. Entonces evaluando a la curva en el
x0 = 0.66 se tiene:
y = 3(0.66)2 – 4 = -2.69 . Ya tenemos x0 =
0.66, y0 = -2.69, mt = 4 , la ecuación buscada es: y + 2.69 = 4(x - 0.66).
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