¿COMO RESOLVER PROBLEMAS PARA CALCULAR LA RECTA TANGENTE QUE SEA PARALELA O PERPENDICULAR O UNA RECTA DADA EN LA FORMA AX + B = 0 ? EJERCICIOS RESUELTOS

En este post te quiero explicar de una manera fácil como resolver problemas relacionados con rectas tangentes a un punto de la gráfica de una función, pero a su vez esta recta tangente es paralela o perpendicular a otra recta dada generalmente de la forma ax + b = 0.

De la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta se tiene: y – y₁ = m(x – x₁), donde “m” es la pendiente de la recta dada. Dada una función en la forma y= f(x) se debe calcular su derivada y luego igualarla al valor de la derivada de la recta dada en la forma ax + b = 0, esto con el fin de asegurar que la tangente tenga pendiente igual a la recta ax + b = 0 en un punto de la gráfica y por consiguiente sean paralelas. Otra forma de calcular la pendiente de una recta es calcular la derivada de la función mediante la definición de limite. Veamos un ejemplo:

RECTA TANGENTE QUE ES PARALELA A OTRA RECTA

Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x² + 3 que sea paralela a la recta 8x – y + 3 = 0.

Primero se calcula dy/dx = 4x,

Luego se calcula la derivada de la recta 8x – y + 3 = 0, resolviendo para y se tiene: y = 3 + 8x,    y' = 8. La recta tiene pendiente 8.

Luego se igualan estas dos derivadas para encontrar un x₀

4x =  8,   x = 8/4. Este valor de x₀ es el punto donde la recta tangente a la curva    y = 2x² + 3  es paralela a la recta 8x – y + 3 = 0. Luego evaluando y(8/4)= 2(2)² + 3 =  12. Como la tangente es paralela a la recta 8x – y + 3 = 0 su pendiente en este punto es igual a 8. Entonces: x₀ = 2,     y₀ = 12, m= 8, la ecuación buscada es:            y – 12 = 8(x - 2).

RECTA TANGENTE QUE ES PERPENDICULAR A OTRA RECTA

De forma igual que la situación anterior dada una curva en la forma y= f(x) se debe calcular su derivada y luego igualarla al valor del inverso de la derivada de la recta dada en la forma ax + b = 0, esto con el fin de asegurar que la tangente sea perpendicular a la recta ax + b = 0, ya que dicha recta tiene pendiente = -(1/m_t); es decir su pendiente es el inverso de la pendiente de la tangente a la curva en un punto dado. Veamos un ejemplo:

Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva y = 3x² – 4 que sea perpendicular a la recta x + 4y = 4.

Primero se calcula la derivada de la curva: y' = 6x.

Luego la derivada de la recta y = (4 – x)/4.    y' = -1/4, pero como la recta tiene pendiente igual a –(1/m_t) se hace -1/4 = –(1/m_t);  por lo que  m_t = 1/(1/4) = 4,  y para calcular el punto de tangencia en un x₀, hacemos  m_t = 6x;    x₀ = m_t/6;  x₀ = 0.66

Verifiquemos y'(0.66) = 4  y este valor es igual a m_t = 4. Lo que garantiza que la recta tiene pendiente igual al inverso de la pendiente de la tangente esto es :

m_r = -(1/m_t);   m_r = -(1/4) =   lo que coincide con el valor de la derivada de la recta  y' = -1/4. Entonces evaluando a la curva en el x₀ = 0.66 se tiene:

y = 3(0.66)² – 4 = -2.69 . Ya tenemos x₀ = 0.66, y₀ = -2.69, m_t = 4 , la ecuación buscada es:            y + 2.69 = 4(x - 0.66).

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