Existen varios métodos para calcular
la derivada de la inversa de una función, veamos el primero de ellos.
Teorema: sea y = f(x) continua en un
intervalo cerrado [a, b], si f'(x) y es distinta de cero para toda [a, b],
entonces la derivada de la inversa f -1
denotada por x
= f -1 (y) existe y está dada por dx/dy = 1/dy/dx ó si te parece más
entendible:
f -1 (y)' = 1/ f'(x)
No tienes que aprenderte este
teorema de memoria, veamos varios ejemplos para que vayas entendiendo.
Si y = f(x), calcule la derivada de
su inversa; es decir calcule f-1 (y)'
1)
y = x2
Solución: Esta es la función cuadrática, la
inversa de esta función denotada por f
-1(y) es la función raíz y factorizada es: x = (y)1/2. Al calcular f '(x) se
tiene: 2x, entonces: f -1 (y)':
1/(2x)
2)
y = 3w
Solución: la inversa de esta función
denotada por f -1(y) es igual w = y/3. Al calcular f '(w) se tiene:
3, entonces f -1(y)': 1/3
3)
z = ex
Solución: Esta es la función
exponencial y su inversa la inversa f -1
es la función logaritmo neperiano se denota:
f -1(z) es igual x = Ln z. Al calcular f '(x) se tiene: ex,
entonces f -1(z)': 1/(ex)
4) y = sen w
Solución: la inversa de la función
seno, es seno-1, entonces f -1(y)
es igual w = sen-1 y. Al calcular f '(w) se tiene: cos w, entonces f
-1(y)': 1/(cos w)
5) z = 10x.
Solución: Si ax = N, donde
N es cualquier numero positivo entonces x = Loga N. Por lo que la
inversa de esta función denotada por f -1(z) es igual x = Log10
z, es decir la función logaritmo natural o en base 10. Al calcular f '(x) se
tiene: 10x.Ln 10, entonces f -1(z)': 1/(10x.Ln 10)
El segundo método para calcular la
derivada de la inversa de una función es el siguiente:
Teorema: Sea f una función continua
en el intervalo cerrado [a, b] que contiene al número x0, y f(x0)
= y0. Entonces si f '(x0) existe y es distinta de cero la
(f -1)'(y0) existe y es igual a :
(f -1)'(y0)
= 1/ f '(x0)
Veamos varios ejemplos para
comprender claramente lo antes expuesto.
Calcule la derivada de la inversa de
la función en el x0 dado.
1)
f (x) = 2x + 5x – Ln x en x0
= 2
Solución: evaluando a la función en
el punto 2 se tiene: f (2) = 13.30. La derivada de esta función es: 2 + 5 – 1/x,
y f '(x) > 0, esto indica que es continua, creciente y admite inversa,
evaluando f '(2) = 6.5. Luego el punto [13.30, 2] está en la gráfica de f -1
y su derivada en el punto es: (f -1)'(13.30) = 1/6.5.
2)
f (x) = 8x+ x/4x +2x en x0 = 1
Solución: evaluando a la función en
el punto 1 se tiene: f (1) = 4.5. La derivada de esta función es: (36x-(32x-4x))
/16x2, como f '(x) > 0 esto indica que es continua, creciente y
admite inversa, evaluando f '(1) = 0.5, luego el punto [4.5; 1] está en la
gráfica de f -1 y su derivada en el punto es:
(f -1)'(4.5) = 1/0.5
3)
f (x) = 7x2 en x0 = 2
Solución: evaluando a la función en
el punto 2 se tiene: f (2) = 28. La derivada de esta función es f '(x) = 14x,
como f '(x) > 0 esto indica que es continua, creciente y admite inversa,
evaluando f '(2) = 28, luego el punto [28; 2] está en la gráfica de f -1
y su derivada en el punto es:
(f -1)' (28) = 1/28. Verifiquemos f -1(x)
= (y/7)1/2 y f -1(x)'= (½(y/7)-1/2)1/7 y
f -1(28)'= (½(28/7)-1/2)1/7
= 1/28
4 )
f (x) = -(1/x) en x0 = ½
Solución: evaluando
a la función en el punto 1/2 se tiene: f (0.5) = 2. La derivada de esta función
es: (1/x2), como f '(x) > 0 esto indica que es continua, creciente
y admite inversa, evaluando f '(0.5) = 4, luego el punto [2; 1/2] está en la
gráfica de f -1 y su derivada en el punto es:
(f -1)'(2) = 1/4
5) f (x) = Ln x en x0 = 1
Solución: evaluando a la función en
el punto 1 se tiene: f (1) = 0. La derivada de esta función es: (1/x), como f
'(x) > 0 esto indica que es continua, creciente y admite inversa, evaluando
f '(1) = 1, luego el punto [0; 1] está en la gráfica de f -1 y su
derivada en el punto es:
(f -1)'(0) = 1/1. Verifiquemos
f -1(x) = (ex) y f -1(x)'= (ex) , luego f -1(0)'=
(e0) = 1.
6) f (x) = (x3/2x) + ex en x0 = 3
Solución: evaluando a la función en
el punto 3 se tiene: f (3) = 24.5. La derivada de esta función es: [((3x2)2x-3x2(2))
/4x2] + ex , como
f '(x) > 0 esto indica que es continua, creciente y admite inversa,
evaluando f '(3) = 160.5, luego el punto
[24.5; 3] está en la gráfica de f -1 y su derivada en el punto es:
(f -1)' (24.5) = 1/160.5
El tercer método para calcular la derivada de la inversa de una
función en mediante diferenciación implícita, si se tiene una función en la
forma y = f(x) y se pide calcular la derivada de la inversa; es decir f
-1 (x)' , entonces:
Primero: se hace el cambio de variables en la forma y
= f -1x
Segundo: se expresa a “x” en términos de “y” en la
forma x = f(y),
Tercero: se deriva implícitamente
esta última ecuación respecto a x.
Cuarto: al despejar a dy/dx se
sustituye el valor de “y” obtenido en el primer paso.
Veamos varios ejemplos para
comprender mejor este método.
Calcule la derivada de la inversa de
las siguientes funciones mediante diferenciación implícita.
1)
y = cos x2
Solución: ésta es una función
compuesta, se hace el cambio de variables:
y = arccos x2,
luego x = cos y2, se deriva implícitamente respecto a “x” 1 = 2cos y2.y'.-2sen
y.y', luego se despeja dy/dx o y': y' = 1/(2cos y2 - 2sen y), pero y = arccos x2, entonces:
y' = 1/(2cos (arccos x2)2 - 2sen (arccos x2))
2) y = xn
Solución: ésta es la función
potencia de “n”, se hace el cambio de variables:
y = n√x,
luego x = n√y, se deriva implícitamente respecto a “x”
1 =
[1/(2 n√y)].y' luego se despeja dy/dx o y':
y' = 1/(1/(2
n√y)) pero y = n√x, entonces:
y' = 1/ (1/ (2 n√( n√x)))
3)
y = 3x
Solución: se hace el cambio de variables: y = x/3, luego x = 3y,
se deriva implícitamente respecto a “x” 1 = 3(y)'
se despeja dy/dx o y':
y' = 1 /3
4) y = sen x Solución: se hace el cambio de variables: y
= arcsen x luego x = sen y, se deriva implícitamente respecto a “x” 1 = cos y.y' luego se despeja dy/dx o y':
y '
= 1/ cos y pero 1/cos y = sec y
entonces: y' = 1/ sec y pero y = arcsen x , entonces:
y'
= 1/ sec ( arcsen x )
5)
y = cos x
Solución: se hace el cambio de variables:
y = arccos x luego x = cos y,
se deriva implícitamente respecto a “x”
y = arccos x luego x = cos y,
se deriva implícitamente respecto a “x”
1 = -sen y.y' luego se despeja dy/dx o y': y'
= -1/ sen y pero 1/sen
y = cosec y
entonces: y' = -cosec y pero y = arccos x , entonces:
y' = -cosec (arccos x)
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