Aquí se está en presencia de una función compuesta,
donde la función más externa es Xn y la más interna es X, pero en este caso el
exponente n también es una
función, debes dar un repaso sobre como derivar funciones potencias y algebraicas, entonces la forma general de estas funciones es:
Y=(f(x))g(x) este tipo de funciones se puede resolver
aplicando derivación logarítmica, pero existe una formula general para
derivarlas la cual es:
Y' = g'(x)(f(x))g(x)Lnf(x) +
g(x)f'(x)(f(x))g(x)-1
Para facilitar los cálculos solo se debe
identificar las dos funciones que componen a Y y calcular sus derivadas para luego
incluirlas cuidadosamente en la formula. En este tipo de calculo no es necesario aplicar la regla de la cadena. Veamos 5 ejemplos.
Calcule Y'
1)
Y= z3z
La función base es: f(z)= z y la función exponente es:
g(z)= 3z
Y'
= 3(z)3zLn(z) + 3z(1)(z)3z-1
2) Y= (sent)cost aqui se tienen dos funciones trigonométricas. La función base es: f(t)= sent
y la función exponente es: g(t)= cost
Y' = -sent(sent)costLn(sent)
+ cost(cost)(sent)cost-1
3)
Y= (tangt + cost)t+3 La función base es: f(t)= (tgt +
cost) y la función exponente es: g(t)= t+3
Y' = t(tangt + cost)t+3Ln(tangt
+ cost) + t+3(sec2t -sent)(tgt + cost)t+2
4)
Y= (secx)cotgx La función base es: f(x)= secx
y la función exponente es: g(x)= cotgx
Y' = -cosec2x(secx)cotgxLn(secx)
+ cotgx(tgx.secx)(secx)cotgx-1
5)
Y= (Lnx)cosecx Observa la función logaritmo y la funcion tangente. La función base es: f(x)= Lnx y
la función exponente es: g(x)= cosecx
Y' = -cotgx.cosecx(Lnx)cosecxLn(Lnx)
+ cosecx(1/x)(Lnx)cosecx-1
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