¿COMO DERIVAR FUNCIONES POTENCIAS DONDE LA BASE Y EL EXPONENTE SON FUNCIONES?

Aquí se está en presencia de una función compuesta, donde la función más externa es Xⁿ  y la más interna es X, pero en este caso el exponente  n también es una función, debes dar un repaso sobre como derivar funciones potencias y algebraicas, entonces la forma general de estas funciones es:

Y=(f(x))^g(x) este tipo de funciones se puede resolver aplicando derivación logarítmica, pero existe una formula general para derivarlas la cual es:

Y' = g'(x)(f(x))^g(x)Lnf(x) + g(x)f'(x)(f(x))^g(x)-1

Para facilitar los cálculos solo se debe identificar las dos funciones que componen a Y  y calcular sus derivadas para luego incluirlas cuidadosamente en la formula. En este tipo de calculo no es necesario aplicar la regla de la cadena. Veamos 5 ejemplos.

Calcule Y'

1)    Y= z^3z  La función base es: f(z)= z y la función exponente es: g(z)= 3z 

 Y' = 3(z)^3zLn(z) + 3z(1)(z)^3z-1

2)    Y= (sent)^cost  aqui se tienen dos funciones trigonométricas. La función base es: f(t)= sent y la función exponente es: g(t)= cost

  Y' = -sent(sent)^costLn(sent) + cost(cost)(sent)^cost-1

3)    Y= (tangt + cost)^t+3  La función base es: f(t)= (tgt + cost) y la función exponente es: g(t)= t+3

  Y' = t(tangt + cost)^t+3Ln(tangt + cost) + t+3(sec²t -sent)(tgt + cost)^t+2

4)    Y= (secx)^cotgx  La función base es: f(x)= secx y la función exponente es: g(x)= cotgx

Y' = -cosec²x(secx)^cotgxLn(secx) + cotgx(tgx.secx)(secx)^cotgx-1

5)    Y= (Lnx)^cosecx  Observa la función logaritmo y la funcion tangente. La función base es: f(x)= Lnx y la función exponente es: g(x)= cosecx

  Y' = -cotgx.cosecx(Lnx)^cosecxLn(Lnx) + cosecx(1/x)(Lnx)^cosecx-1

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