APRENDE A COMO RESOLVER DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS CON EJERCICIOS RESUELTOS FACILMENTE.

Para resolver cualquier ejercicio matemático lo primero que debes hacer es leerlo detenidamente, luego de ello debes identificar si se trata de una sola función trigonométrica o hay más de una función ello con el fin de aplicar la regla de la suma, el producto, la resta o el cociente de dos funciones. Una vez hecho esto se identifica cada una de las funciones trigonométricas y se evaluar si es posible usar algunas de las identidades trigométricas que te ayudaran a racionalizar o factorizar las funciones. Seguidamente, al derivar cada función debes usar la tabla de fórmulas derivadas para estas funciones, para ello también debes tomar en cuenta si hay que aplicar la regla de la cadena, esto es cuando se nos presente una función compuesta.

Primero debemos repasar la tabla de derivadas de funciones trigonométricas:

(sen x)' = (cos x)                          (cos x)' = (-sen x)

(tan x)' = (sec² x)                           (sec x)' = (sec x.tan x)

(cosec)' = (-cosec x.cotg x)           (cotang x)' = (-cosec² x)

También es útil considerar que (e^x)' = (e^x)  y  (Ln x)' = (1/x)

Veamos algunos ejemplos a fin de ir entendiendo poco a poco lo antes dicho:

Calcule la derivada de las siguientes funciones trigonométricas compuestas en las que se debe aplicar la regla de la cadena:

A)    F(x) = sen x² Aquí la función mas externa es g(x)= sen x   y la función mas interna es h(x)= x² por lo que se debe aplicar la regla de lacadena y la regla para derivar funciones con exponentes racionales enteros positivos, entonces F'(x)= F(goh)' =  g(h(x))'.h(x)' = cos x².(2x)

B)    F(x) = cos⁴ x Aquí la función más externa es g(x)=  x⁴   y la función más interna es h(x)= cos x,  por lo que se debe aplicar la regla de la cadena y la regla para derivar funciones con exponentes racionales enteros positivos, entonces F'(x)= F(goh)' =  g(h(x))'.h(x)' = 4cos³ x.(-sen x)

C)   F(x) = e^{tan x}  F(x) = cos⁴ x Aquí la función más externa es g(x)=  e^x     y la función más interna es h(x)= tan x,  por lo que se debe aplicar la regla de la cadena y la derivada de la función tangente entonces F'(x)= F(goh)' =  g(h(x))'.h(x)' = e^{tan x}.(tan x)'  = e^{tan x}.(sec² x) 

D)   F(x,y) = cos (x + y) Para derivar esta función se debe aplicar la identidad trigonométrica para la suma de cosenos: 

cos (x + y) = cos x.cos y + sen x.sen y     Entonces:

F(x,y) ' = (cos x.cos y + sen x.sen y  )' Aquí se aplica la regla para suma de derivadas de funciones y la regla del producto de dos derivadas

F(x,y) ' = (-sen x.cos y + cos x.-sen y) + (cos x.sen y + sen x.cos y)

E)    F(x) = sen x .sec x    Aquí se debe aplicar la regla del producto de dos funciones, sean g(x) = sen x  y h(x) = sec x   Entonces:

F'(x)= (cos x.sec x) + (sen x.(sec x.tan x)) Recuerda que debe buscar en la tabla de derivadas la derivada de la función seno y tangente.

Ahora veamos algunos ejemplos para derivar funciones trigonométricas aplicando la regla del cociente, pero antes veamos esta tabla de identidades trigométricas que pueden ayudar a racionalizar las funciones y así resolverlas fácilmente:

Sen (a+b) = sen a.sen b + cos a.cos b      tan x = sen x/cos x

cos (a+b) = cos a.cos b + sen a.sen b       sen² x + cos² x = 1

cos a.sec a = 1                                           cotg x = cos x/ sen x

1)    F(x) = 1/(tan x + 2x) Se tiene un cociente de una constante entre una suma de funciones por lo se aplica la regla para derivar una constante entre una funcion F'(x)= (-1/( tan x + 2x)²).( tan x + 2x)' = (-1/( tan x + 2x)²).( sec² x + 2)'

2)    F(x) = (sen x.tan x)/e Se tiene el producto de dos funciones trigonométricas entre una constante, el número “e”  el cual es la base de los logaritmos neperianos. Se debe aplicar la regla para derivar una función entre una constante. Entonces F'(x)=  f'(x)/constante   = (sen x.tan x)'/e

F'(x)= (sen x.tan x)'/e    aquí se tiene el producto de la función seno por la función tangente por lo que se debe aplicar la regla del producto

= ((cos x.tan x) + (sen x.sec² x)) / 2,71828182 Aquí se aplicó la regla para derivar una función dividida entre una constante.

3)    F(x) = (2cos x) /(x+ 1) aquí se tiene el cociente de una función trigonométrica y una función polinómica  entonces :

           F'(x) = ((2cos x)'. (x+ 1) + (2cos x). (x + 1)’) / (x+ 1)²

           F'(x) = ((-2sen x). (x + 1) + (2cos x). (x))/(x+1)²

4)    F(x) = (x³sen x) / (cot x)^1/2 En esta función se tiene el cociente del producto de dos funciones y la función cot x con exponente racional positivo. Entonces: [(3x².sen x + x³.cos x). (cot x)^1/2  - (x³sen x).1/2(cot x)^-1/2.(-cosec² x)] / ((cot x)^1/2  )²

5)    F(x) =   x/ (cos x.sec x) En esta función observamos que el denominador se puede racionalizar utilizando la siguiente identidad trigonométrica:

           (cos a.sec a) = 1   Entonces esto facilita el cálculo de la derivada.

           F(x) = x/1     y F(x)' = (x)'/1  = 1/1

Veamos ahora algunos ejemplos para derivar funciones trigométricas usando la técnica de derivación implícita, si se tiene una función donde “y” es función de “x” y se pide calcular dy/dx se deben derivar todas las variables aplicando las distintas técnicas de derivación, pero cada vez que se derive la variable “y” se le debe agregar a este resultado el componente “dy/dx” o el componente y' .  Observemos que las siguientes ecuaciones definen a “y” como función implícita de “x” calcule la derivada de “y”.

a)    F(x) = x cos y + y = 2x     (1.cos y + x.-sen y.(y')) + y' = 2 luego agrupando términos donde aparece y' se tiene y'.(1 - x.sen y) = 2/cos y     finalmente :

y' = (2 - cos y) /  (1 - x.sen y)

b)    F(x) = tan y⁶ + xsen y = 2x     en esta ecuación se debe aplicar la regla del producto y la regla para potencias enteras positivas entonces:

          (Sec² y⁶.tan y⁶)6y⁵. y' + (sen y + x.cos y. y') = 2    agrupando términos  

           semejantes para despejar a y' se tiene:                               

           y'((sec² y⁶.tan y⁶)6y⁵ + (sen y + x.cos y)) = 2

           y' = 2/ ((sec² y⁶.tan y⁶)6y⁵ + (sen y + x.cos y))

c)     F(x) = sen y.e^y + 2xy = cos x. e^x+1   en la primera parte de esta ecuación se tiene la suma de 2 funciones en la que se debe aplicar la regla del producto y en la segunda parte se debe aplicar igualmente la regla del producto.                                                                             (cos y. y'. e^y + sen y.e^y. y') + 2.y + 2x. y' = (-sen x. e^x+1 + cos x. e^x+1 )                                               y'.(cos y. e^y + sen y.e^y + 2x) =    (-sen x. e^x+1 + cos x. e^x+1 – 2y)                                                   y' =    (-sen x. e^x+1 + cos x. e^x+1 – 2y)/(cos y. e^y + sen y.e^y + 2x)

                                                  

d)    F(x) = 5tang x^e + 2y² = csc 5     en la primera parte de esta ecuación se tiene una función compuesta, la función mas externa es tan x y la más interna es xⁿ     entonces se tiene:                                                                                 5sec² x^e.(ex) + 4y. y' = -cos 5.cot 5                                                         y' =  [-cos 5.cot x -  5sec² x^e.(ex)] / 4y    

e)    F(x) = 9cot x³ + y³ = sen x     la primera función de esta ecuación es la función compuesta cot x con xⁿ                                                                  -cosec² x³. (3x²) + 3y². y' = cos 5                                                                y' = cos 5/ (-cos² x³. (3x²) + 3y²)

En esta parte del post quiero explicarte cómo usar la técnica de derivación logarítmica para derivar funciones trigométricas y trigonométricas inversas, esta técnica implica el uso de la regla de la cadena y es muy útil para derivar funciones que incluyen productos, cocientes o potencias muy complicadas. Para aplicar esta técnica se deben conocer las propiedades de los logaritmos naturales que ayudaran a facilitar los cálculos. Si se tiene una función definida para cada x de su dominio por f(x) la cual es positiva para todo x entonces los pasos para derivar logarítmicamente son:

1)    Se debe escribir la función en la forma y = f(x)

2)    Se aplica logaritmo natural a la función: Ln y = Ln f(x). y se resuelve aplicando las propiedades del logaritmo natural.

3)    Se deriva implícitamente con respecto a la variable independiente en este caso x   quedando así: (Ln y)' = (Ln f(x))'

                                                (1/y). y' = (Ln f(x))'

4)    Se multiplica por y toda la ecuación resultando: y' = y. (Ln f(x))'

5)    Se cambia y por f(x) resultando: f'(x)= y' = f(x). (Ln f(x))'

Ahora demos un breve repaso a las propiedades de los logaritmos naturales:

Ln (a/b) = Ln a – Ln b             Ln (a)^x = x. Ln(a)

Ln (a.b…. z) = Ln a + Ln b +……+ Ln z             

Veamos 5 ejemplos para entender mejor lo antes expuesto:

1)     y = sen x. x² + 2x/ (tan x)

Ln y = Ln (sen x. x² + 2xtan x)

Ln y = Ln sen x + 2. Ln x + Ln 2x - Ln tan x

(1/y). y' = (1/sen x)cos x + 2/x + 2/(2x) – (1/tan x).sec² x

y' = y. [ (1/sen x)cos x + 2/x + 2/(2x). – (1/tan x).sec² x]

y' = (sen x. x² + 2x/ (tan x)). [ (1/sen x)cos x + 2/x + 2/(2x). – (1/tan x).sec² x]

2)     y = (cos x/sec x)^1/3. x^{tan x}

Ln y = Ln ((cos x/sec x)^1/3. x^{tan x})

Ln y = Ln cos x – 1/3Ln sec x + tan x. Ln x

(1/y). y' = -sen x/cos x - 1/3. (tan x.sec x) /sec x + (sec² x)Ln x + (tan x/x)

y' = y. [ -sen x/cos x - 1/3. (tan x.sec x) /(sec x ) + (sec² x)Ln x + tan x/x)]

y' = ((cos x/sec x)^1/3. x^{tan x}). [ -sen x/cos x - 1/3. (tan x.sec x)/(sec x) + (sec² x)Ln x + (tan x/x)]

3) y = (cotan x)^{sen x}

Ln y = Ln ((cotan x)^{sen x})   = sen x.Ln (cotan x)

 (1/y). y' = cos x.Ln(cotan x) + sen x. (1/cotan x). (cotan x) '

 (1/y). y' = cos x.Ln(cotan x) + sen x. (1/cotan x). (cosec² x)

y' = y. [ cos x.Ln(cotan x) + sen x. (1/cotan x). (cosec² x)]

y' = ((cotan x)^{sen x}). [ cos x.Ln(cotan x) + sen x. (cosec² x /cotan x)]

4) y = (tan x)^x - x⁵

Ln y = Ln (tan x)^x - Lnx⁵)

Ln y = x. Ln (tan x) – 5Lnx

(1/y). y' =  Ln (tan x) + x.(1/tan x). (tan x)' – 5/x  = Ln (tan x) + x. (1/tan x). (sec² x) – 5/x

(1/y). y' = Ln (tan x) + (x/tan x). (sec² x) – 5/x

y' = y. [ Ln (tan x) + (x/tan x). (sec² x) – 5/x]

y' = ((tan x)^x - x⁵).[ Ln (tan x) + (x/tan x). (sec² x) – 5/x]

5) y = (tan x)²/ x^e

Ln y = Ln (tan x)² – Ln  x^e)

Ln y = 2Ln (tan x) - e. Ln x

(1/y). y' = (2/tan x).sec² x - e/x

y' = y. [ (2/tan x).sec² x - e/x]

y' = ((tan x)²/ x^e). [ (2/tan x).sec² x - e/x]

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