¿COMO RESOLVER PROBLEMAS PARA CALCULAR LA RECTA NORMAL A LA GRAFICA DE UNA CURVA EN UN PUNTO X0 QUE SEA PARALELA O PERPENDICULAR O UNA RECTA DADA EN LA FORMA AX + B = 0 ? EJERCICIOS RESUELTOS

RECTA NORMAL QUE ES PARALELA A UNA RECTA DADA EN LA FORMA AX + B = 0

La recta normal a la gráfica de una curva en un punto dado tiene pendiente igual a –(1/m_t), es decir m_n es igual al inverso de lapendiente de la recta tangente en un punto. Pero dada una curva y = f(x) y una recta ax + b = 0 que intersecte a dicha curva en un punto entonces solo se debe calcular la derivada de dicha recta e igualarla a la derivada de la curva para encontrar un x₀ en el que exista una recta normal a la curva y a su vez paralela a la recta ax + b =0. Veamos un ejemplo:

Calcule la ecuación de la recta normal a la curva y = x² - x que sea paralela a la recta 2x + y – 9 = 0.

Primero se calcula la derivada de la curva dy/dx= 2x – 1 y la derivada de la recta 2x + y – 9 = 0 resolviendo para y se tiene y = 9 – 2x   dy/dx = -2, igualando las derivadas :   2x – 1 = -2 resolviendo para x = -1.5

Luego evaluamos x₀ en la curva y = x² - x     y(-1.5) = (-1.5)² - (-1.5)                                    y(-1.5) = 3.75.

Como la normal es paralela a la recta  2x + y – 9 = 0, entonces  m_n = -2  

 Ya tenemos x₀ = -1.5,  y₀ = 3.75,  m_n= -2 . La ecuación buscada es:                            y  – 3.75  = -2(x + 1.5).

RECTA NORMAL QUE ES PERPENDICULAR A UNA RECTA DADA EN LA FORMA AX + B = 0

La recta normal a la gráfica de una curva en un punto x₀ y que es perpendicular a una recta dada en la forma ax + b, tiene pendiente igual al inverso de la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto dado donde la normal intersecta a la curva. Veamos un ejemplo:

Encuentre una ecuación de la recta normal a la curva y = 2 + x² que sea perpendicular a la recta y – x = 0.

Se calculan las derivadas de estas dos ecuaciones:

Para la curva dy/dx = 2x    y para la recta y = x,    dy/x = 1 = m, pero como la normal tiene pendiente igual –(1/m), entonces m_n = –(1/m),  = -1/1, y para calcular en qué punto la normal intersecta a la curva se igualan m = 1 con  la derivada de la curva 1 = 2x   resolviendo para x = 0.5                                            Verifiquemos y'(0.5) = 1  y este valor es igual a m = 1. Lo que garantiza que la normal tiene pendiente igual al inverso de la pendiente de la tangente.

. Entonces evaluando a la curva en el x₀ = 0.5 se tiene:

y(-0.5) =  2 + (0.5)² = 2.25 . Ya tenemos x₀ = 0.5, y₀ = 2.25, m_n= -1/1, la ecuación buscada es:            y – 2.25 = -1/1(x - 0.5).

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